“Nissuna umana investigazione si puo’ dimandare vera scienzia s’essa non passa per le matematiche dimostrazioni”

(Leonardo da Vinci)

Aos meus pais...

Agradecimentos

Agradecimento é algo delicado de ser feito, pois sempre há o risco de esquecermos de citar alguém. Por isso, desde já peço desculpas por alguma falha ou esquecimento.

Primeiramente, agradeço aos meus pais, pelo apoio que me deram durante todos esses anos. Agradeço pela ótima educação que deles recebi, sempre seguindo e ouvindo os conselhos, às vezes repetitivos, mas nunca desnecessários. Agradeço por terem confiado e acreditado em mim, dando-me a oportunidade de continuar meus estudos. Muito obrigado. A educação que me deram não perco jamais.

Agradeço ao Prof. Dr. Mauro Flavio Spreafico, pela orientação e tempo dedicado a esse projeto. Agradeço também ao Prof. Dr. Oziride Manzoli Neto, pela colaboração na conclusão do trabalho.

Agradeço a todos meus professores, desde o colégio até aos que conheci na universidade. Mais que professores, muitos deles foram meus amigos e alguns ainda permanecem presentes. Agradeço aos professores do Departamento de Matemática da Unesp de Rio Claro, em especial à Profa. Dra. Alice K.M. Libardi, por me iniciar no estudo da Topologia, me orientando durante a graduação por três anos. Mais que uma orientadora, ela é uma grande amiga.

Não posso deixar de agradecer aos professores e funcionários do ICMC que, de uma forma ou outra, também me ajudaram durante esses dois anos de vivência em São Carlos. Agradeço também ao CNPq, pelo apoio financeiro, importante para o desenvolvimento desse projeto.

Por fim, quero lembrar e agradecer aos meus amigos, todos eles. Aos que estiveram presentes tanto nos momentos difíceis como nos momentos alegres, enfim, àqueles que realmente se importaram comigo e que também receberam minha amizade. Obrigado aos amigos da Unesp, Andréa, Daniel, Erika, Ricardo, Camila, aos amigos do ICMC, aos amigos de Rio Claro, Marcelo, Gilson, Erica e à querida amiga Gabriela.

Aos citados acima, Muito Obrigado!

\overline{Abstract}

The aim of this work is enumerate the plane bundles over some surfaces, for example the sphere S^{2} and the g-torus gT. Among other tools we used cohomology of the surfaces with local coefficients and also the method developed by Larmore ([7]) to count homotopy classes of lifting of functions.

\overline{Resumo}

O objetivo desse trabalho é fazer uma enumeração dos fibrados planos reais sobre algumas superfícies, como por exemplo, a esfera S^{2} e o g-toro gT. Entre outras ferramentas, utilizamos a cohomologia das superfícies, com coeficientes locais, e também o método desenvolvido por Larmore ([7]) para contar classes de homotopia de levantamento de funções.

\overline{Introdução}

Sejam X um espaço topológico e G um grupo. Consideraremos os fibrados principais sobre X que têm G como grupo estrutural. Podemos classificar o conjunto de todos os fibrados principais sobre X com grupo estrutural G através das classes de homotopia de aplicações de X no espaço classificante BG. Dado que o tipo de homotopia de BG pode ser muito complicado, em geral é difícil a enumeração completa de todos esses fibrados. Quando o grupo fundamental de X não é trivial, necessitamos da utilização de coeficientes locais, por razões da teoria de homotopia. Em particular, a seqüência espectral de Larmore ([7]) nos dá uma técnica explícita para a enumeração dos fibrados em termos do grupo de co-homologia do espaço base, com coeficientes locais.

No capítulo I, colocamos alguns requisitos para o estudo dos fibrados e a ação do grupo fundamental na fibra. Isso será utilizado no cálculo dos grupos de homologia. As referências para esse capítulo são [1] e [4].

No capítulo II, iniciamos a teoria de coeficientes locais e apresentamos alguns exemplos, calculando os grupos do modo mais tradicional, ou seja, usando uma decomposição (simplicial ou celular) para o espaço de recobrimento universal e criamos então um complexo de cadeias. As referências para esse capítulo são [4], [5] e [11].

No capítulo III, novamente alguns grupos de homologia são calculados, porém de um modo mais sofisticado, usando o conceito de resolução livre de um grupo. Com o mesmo método, os grupos de co-homologia também foram calculados, tanto com coeficientes globais (sem torção), como com coeficientes locais (com torção). Tais grupos serão utilizados na enumeração dos fibrados. A referência para esse capítulo é [2].

No capítulo IV, abordamos a Teoria de Fibrados. Estudamos os principais resultados e alguns exemplos, inclusive uma relação entre classes de homotopia e classes de fibrados, muito útil para a parte final do trabalho. As referências para esse capítulo são [6] e [13].

No capítulo V, provamos um teorema que relaciona a co-homologia de dimensão dois de uma superfície com a primeira classe de Stiefel-Whitney do fibrado tangente à superfície e do fibrado linha relacionado com os coeficientes locais utilizados. A seguir, descrevemos o processo de construção de uma torre de Postnikov para um espaço Y e utilizamos também o conceito de seqüência espectral, com ambos servindo de ferramentas para a enumeração dos fibrados planos. Concluímos com a técnica de Larmore para o caso das superfícies de nosso interesse, já citadas anteriormente. As principais referências para esse capítulo são [7] e [9].

Noções básicas de Topologia Algébrica são necessárias, tais como grupos de homologia, grupos de homotopia, complexo de cadeias, entre outros. Às vezes, utilizamos homologia simplicial e em outros casos, homologia celular. No entanto, o leitor que precisar consultar alguma referência, poderá buscála em qualquer livro básico de Topologia Algébrica, como por exemplo, [5] ou [11]. Para os conceitos de Álgebra, aconselhamos a consulta de [3] e [12], literaturas avançada e básica, respectivamente. Como referência geral, sugerimos [14], que contém praticamente todos os assuntos abordados aqui.

Conteúdo

Agradecimentos v

Abstract vii

Resumo ix

Introdução 1

1 Preliminares 5 1 Espaços de recobrimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Teorema do levantamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 A ação de π_{1} na fibra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Transformações “deck” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Ações propriamente descontínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Homologia com coeficientes locais 17 6 Complexo de cadeias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 7 Homologia com coeficientes locais . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 8 Homologia da S^{1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 9 Homologia do toro T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 10 Homologia do plano projetivo ℝP^{2} . . . . . . . . . . . . . . . . 34 11 Homologia da garrafa de Klein K . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Homologia de grupos 41 12 Resoluções livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 13 Resoluções de ℤ sobre ℤG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 14 A homologia de um grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 15 Homologia do toro T via resolução . . . . . . . . . . . . . . . . 49 16 Homologia do g-toro gT via resolução . . . . . . . . . . . . . . 51 17 Homologia do plano projetivo ℝP^{2} via resolução . . . . . . . . 53 18 Homologia da garrafa de Klein K via resolução . . . . . . . . . 55 19 Co-homologia do g-toro gT via resolução . . . . . . . . . . . . . 56 20 Co-homologia do plano projetivo ℝP^{2} via resolução . . . . . . . 58 21 Co-homologia da garrafa de Klein K via resolução . . . . . . . 58

4 Teoria de fibrados 61 22 Grupos topológicos e ações de grupos . . . . . . . . . . . . . . 61 23 Fibrado, G-fibrado e fibrado principal . . . . . . . . . . . . . . 63 24 Fibrado com fibra F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 25 Classificação homotópica de G-fibrados principais . . . . . . . . 70

5 Enumeração dos fibrados planos sobre superfícies 75 26 Considerações iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 27 Enumeração dos 2-fibrados sobre superfícies fechadas orientáveis 76

Lista de Tabelas e Figuras 81

Referências Bibliográficas 83

Índice Remissivo 85 Capítulo I

Preliminares

Neste capítulo, colocaremos os conceitos básicos para o entendimento deste trabalho. Em todo o texto, utilizaremos o termo aplicação para nos referirmos a uma função contínua. O leitor necessitará de noções básicas sobre grupo fundamental e espaços de recobrimento. Para maiores detalhes sobre o conteúdo desse capítulo, ver [1].

1 Espaços de recobrimento

Os espaços que consideraremos nesta seção serão de Hausdorff, conexos por caminhos e localmente conexos por caminhos. Dizemos que X é localmente conexo por caminhos se, dado x ∈ X, existe uma vizinhança U de x tal que para todo y ∈ U existe um caminho de x para y totalmente contido em U. Notemos que, em tais espaços, todo ponto possui uma vizinhança básica consistindo de conjuntos conexos por caminhos. Por fim, isto implica que as componentes conexas por caminhos de qualquer subconjunto aberto de um tal espaço são também abertas.

1.1 Definição: Uma aplicação^{1} p : X → Y é chamada de aplicação de recobrimento (e X é chamado um recobrimento de Y) se X e Y são de Hausdorff, conexos por caminhos e localmente conexos por caminhos e se cada ponto y ∈ Y possui uma vizinhança U conexa por caminhos tal que p^{−1}(U) é uma união disjunta não vazia de conjuntos U_{α} (que são as componentes conexas por caminhos de p^{−1}(U)) nos quais p_{|U_{α}} : U_{α} → U é um homeomorfismo. Tais conjuntos U serão chamados de elementares ou vizinhanças distinguidas.

1Convencionamos como sendo uma função contínua.

Notemos que uma aplicação de recobrimento deve ser sobrejetiva pois isso faz parte do “homeomorfismo”. Também não é suficiente a aplicação ser homeomorfismo local (significando que cada ponto de X possui uma vizinhança que é aplicada homeomorficamente sobre uma vizinhança do ponto da imagem). Considere por exemplo a aplicação p : (0, 2) → S^{1} definida por

p(t) = (cos(2πt), sin(2πt)),

que é um homeomorfismo local, mas para qualquer pequena vizinhança U de 1 ∈ S^{1}, alguma componente de p^{−1}(U) não se aplica sobre U.

É claro que o número de pontos da imagem inversa de um ponto, pela aplicação de recobrimento, é localmente constante e, constante caso o espaço base seja conexo. Este número é chamado número de folhas da cobertura. Seguem abaixo alguns exemplos de aplicações de recobrimento.

1. A aplicação ℝ → S^{1} definida por t ↦ e^{2πit} é uma aplicação de recobrimento com infinitas folhas.

2. A aplicação S^{1} → S^{1} definida por z ↦ z^{n}, para um inteiro positivo fixado n, é uma cobertura com n folhas.

3. A aplicação canônica S^{2} → P^{2}, da esfera sobre o plano projetivo real, é uma cobertura com 2 folhas.

4. Considere a relação de equivalência no plano ℝ^{2} que é gerada pelas equivalências (x, y) ∼ (x, y + 1) e (x, y) ∼ (x + 1, 1 − y). A aplicação canônica ℝ^{2} → ℝ^{2}/ ∼ é uma cobertura com infinitas folhas, cujo espaço quociente é a garrafa de Klein.

1.2 Teorema (Levantamento de caminhos): Sejam p : X → Y uma aplicação de recobrimento e f : I → Y um caminho. Seja x_{0} ∈ X tal que p(x_{0}) = f(0). Então existe um único caminho h : I → X tal que p ∘ h = f e h(0) = x_{0}. Podemos resumir isso dizendo que o diagrama abaixo pode ser completado de modo único.

\xymatrix{\{0\} \ar[r] \ar@{^{(}->}[d] & X \ar[d]^{p} \\ I \ar[r]_{f} \ar@{-->}[ur]^{h} & Y}

1.3 Teorema (Cobertura de homotopia): Seja W um espaço localmente conexo e seja p : X → Y uma aplicação de recobrimento. Sejam F : W × I → Y uma homotopia e f : W × {0} → X um levantamento da restrição de F a W ×{0}. Então existe uma única homotopia h : W ×I → X tornando o diagrama abaixo comutativo,

\xymatrix{W × \{0\} \ar[r]^{f} \ar@{^{(}->}[d] & X \ar[d]^{p} \\ W × I \ar[r]_{F} \ar@{-->}[ur]^{h} & Y}

e além disso, se F é uma homotopia relativa a W′, para algum W′ ⊂ W, então h também é.

1.4 Corolário: Seja p : X → Y uma aplicação de recobrimento. Sejam f_{0}, f_{1} caminhos em Y com f_{0} ≃ f_{1} (rel ∂I). Sejam f̃_{0}, f̃_{1} levantamentos de f_{0}, f_{1} tais que f̃_{0}(0) = f̃_{1}(0). Então f̃_{0}(1) = f̃_{1}(1) e f̃_{0} ≃ f̃_{1} (rel ∂I).

1.5 Corolário: Sejam p : X → Y uma aplicação de recobrimento e f : (I, ∂I) → (Y, y_{0}) um laço. Se f é homotópica a um laço constante rel ∂I então qualquer levantamento de f será um laço e homotópico a um laço constante rel ∂I.

1.6 Corolário: Seja p : X → Y uma aplicação de recobrimento e p(x_{0}) = y_{0}. Então

p_{#} : π_{1}(X, x_{0}) → π_{1}(Y, y_{0})

é um monomorfismo cuja imagem consiste das classes de laços em Y baseados em y_{0} que se levantam à laços em X baseados em x_{0}.

1.7 Corolário: Seja p : X → Y uma aplicação de recobrimento e p(x_{0}) = y_{0}. Se f é um laço em Y baseado em y_{0} que se levanta à um laço em X baseado em x_{0}, então qualquer laço homotópico a f (rel ∂I) também se levanta a um laço em X baseado em x_{0}. Ou seja, levantamento de um laço é uma propriedade da classe [f].

1.8 Corolário: Seja Y um espaço de Hausdorff, conexo por caminhos e localmente conexo por caminhos. Se Y tem uma cobertura não trivial então π_{1}(Y, y_{0}) ≠ 1.

Como conseqüência do corolário 1.8, podemos conhecer vários espaços com grupo fundamental não trivial: a circunferência, a garrafa de Klein e o plano projetivo.

2 Teorema do levantamento

O problema de levantamento na Topologia consiste em decidir quando se pode “levantar” uma aplicação f : W → Y a uma aplicação g : W → X, ou seja, tal que p ∘ g = f, onde p : X → Y é dada. Em outras palavras, sobre quais condições podemos completar o diagrama abaixo, tornando-o comutativo.

\xymatrix{ & X \ar[d]^{p} \\ W \ar[r]^{f} \ar@{-->}[ur]^{g} & Y}

Este é um importante problema em Topologia, visto que muitas questões topológicas podem ser feitas em termos da procura de tais levantamentos. Se adicionarmos algumas hipóteses sobre pontos base x_{0}, y_{0}, w_{0} e se p for uma aplicação de recobrimento, então podemos responder tal questão agora, com o teorema abaixo.

2.1 Teorema (Teorema do levantamento): Seja p : X → Y uma aplicação de recobrimento com p(x_{0}) = y_{0}. Suponhamos que W seja conexo por caminhos e localmente conexo por caminhos e que f : W → Y seja uma aplicação com f(w_{0}) = y_{0}. Então uma aplicação g : (W, w_{0}) → (X, x_{0}) tal que p ∘ g = f existe se, e somente se, f_{#}(π_{1}(W, w_{0})) ⊂ p_{#}(π_{1}(X, x_{0})). Além disso, g é única.

A hipótese de W ser localmente conexo por caminhos não pode ser retirada. Para um contra-exemplo, ver [1], 3.4.

2.2 Corolário: Seja W simplesmente conexo, conexo por caminhos e localmente conexo por caminhos e seja p : (X, x_{0}) → (Y, y_{0}) uma aplicação de recobrimento. Seja f : (W, w_{0}) → (Y, y_{0}) uma aplicação qualquer. Então sempre existe um levantamento g de f levando w_{0} em qualquer ponto escolhido em p^{−1}(y_{0}). O levantamento g é único se g(w_{0}) for especificado.

2.3 Lema: Seja W conexo e sejam p : X → Y uma aplicação de recobrimento e f : W → Y uma aplicação qualquer. Se g_{1}, g_{2} : W → X são levantamentos de f e g_{1}(w) = g_{2}(w), para algum w ∈ W, então g_{1} = g_{2}.

2.4 Corolário: Sejam p_{i} : W_{i} → Y, i = 1, 2, aplicações de recobrimento, com W_{1} simplesmente conexo, e sejam w_{i} ∈ W_{i} e y ∈ Y tais que p_{i}(w_{i}) = y. Então existe uma única aplicação g : W_{1} → W_{2} tal que g(w_{1}) = w_{2} e p_{2} ∘ g = p_{1}. Além disso, g é uma aplicação de recobrimento.

2.5 Corolário: Sejam p_{i} : W_{i} → Y, i = 1, 2, aplicações de recobrimento, com W_{1} e W_{2} ambos simplesmente conexos. Se w_{i} ∈ W_{i} são tais que p_{1}(w_{1}) = p_{2}(w_{2}) então existe uma única aplicação g : W_{1} → W_{2} tal que g(w_{1}) = w_{2} e p_{2} ∘ g = p_{1}. Além disso, g é um homeomorfismo.

No corolário anterior, tal g é chamada equivalência de espaços de recobrimento. Assim, todos espaços de recobrimento simplesmente conexos de um dado espaço são equivalentes. Também são chamados de espaços de recobrimento universal ou cobertura universal.

3 A ação de π_{1} na fibra

As próximas seções ainda tratam de coberturas de um espaço dado. Nessa seção, definiremos e estudaremos uma ação do grupo fundamental do espaço base de uma cobertura, ação sobre a fibra, que é a imagem inversa de um ponto do espaço base, previamente escolhido.

De agora em diante, p : X → Y será uma aplicação de recobrimento e y_{0} ∈ Y um ponto base fixado. Por simplicidade de notação, definiremos

J = π_{1}(Y, y_{0}) e F = p^{−1}(y_{0}).

O conjunto discreto F é chamado de fibra de p. Descreveremos uma ação do grupo J em F como um grupo de permutações. Por conveniência, a ação será à direita.

Sejam x ∈ F e α ∈ J. Representamos α por um laço f : I → Y e levantamos f para obtermos um caminho g em X com g(0) = x. Definimos então

x · α = g(1)

que não depende da escolha de f, pelo corolário 1.4, e assim temos uma função bem definida

F × J → F.

Colocaremos agora algumas propriedades desta função.

1. x · 1 = x. A prova é direta.

2. (x·α)·β = x·(αβ). Isto nos diz que J atua como um grupo de permutações de F. Para provarmos (2), levantamos um laço que representa α a um caminho f começando em x. Tal caminho vai de x até x·α. Então, levantamos um laço representando β a um caminho g começando em x · α, que por sua vez vai de x · α até (x · α) · β. Assim, f ∗ g (justaposição de caminhos) é um levantamento de um laço representando αβ, começando em x e portanto terminando em x · (αβ).

3. Tal ação é transitiva, isto é, dados x, x_{0} ∈ F, existe α ∈ J tal que x = x_{0} · α. Para isso, simplesmente escolhemos um caminho em X de

3. A ação de π_{1} na fibra 11

x_{0} até x, que é projetado em um laço f em Y. Então, basta tomarmos α = [f].

4. Definimos o subgrupo de isotropia de J em x_{0} por

J_{x_{0}} = {α ∈ J; x_{0} · α = x_{0}}.

Então, J_{x_{0}} = Im(p_{#} : π_{1}(X, x_{0}) → J = π_{1}(Y, y_{0})). Para isso, notemos que α ∈ J_{x_{0}} se, e somente se, α = [f], onde f é levantada a um laço em x_{0}, ou seja, se, e somente se, α ∈ Im(p_{#}), como mostrado no corolário 1.6.

5. A aplicação ϕ : J/J_{x_{0}} → F, que leva a classe lateral J_{x_{0}}α em x_{0} · (J_{x_{0}}α) = x_{0} · α, é uma bijeção.

(a) Mostremos que ϕ está bem definida. Suponhamos que J_{x_{0}} · α = J_{x_{0}} · β, e portanto, αβ^{−1} ∈ J_{x_{0}}. Pela definição temos x_{0} · α = g_{1}(1) e x_{0} · β = g_{2}(1), onde g_{1}, g_{2} são levantamentos de f_{1}, f_{2}, representantes de α, β. Como αβ^{−1} ∈ J_{x_{0}}, seu levantamento será um laço em x_{0} e tal levantamento é g_{1}∗g_{2}^{−1}. Logo g_{1}(1) = g_{2}^{−1}(0) = g_{2}(1) e então ϕ é bem definida.

(b) Mostremos que ϕ é injetora. Se x_{0} · α = x_{0} · β então g_{1}(1) = g_{2}(1), onde g_{1}, g_{2} são levantamentos de f_{1}, f_{2}, começando em x_{0}. Portanto, g_{1}∗g_{2}^{−1} é um laço em x_{0} e é um levantamento de f_{1}∗f_{2}^{−1}, representante de αβ^{−1} que pertence a p_{#}(π_{1}(X, x_{0})) = J_{x_{0}} e assim J_{x_{0}} · α = J_{x_{0}} · β.

(c) Como a ação é transitiva, ϕ é sobrejetora, pois dado x ∈ F existe α ∈ J tal que x = x_{0} · α = ϕ(J_{x_{0}}α).

Resumindo, temos o seguinte resultado:

3.1 Teorema: Seja p : X → Y uma aplicação de recobrimento com p(x_{0}) = y_{0}. Existe uma bijeção entre o conjunto π_{1}(Y, y_{0})/p_{#}(π_{1}(X, x_{0})) das classes laterais à direita e a fibra p^{−1}(y_{0}).

Vale lembrar que p_{#}(π_{1}(X, x_{0})) ≈ π_{1}(X, x_{0}), desde que p_{#} é um monomorfismo, pelo corolário 1.6.

3.2 Corolário: O número de folhas de uma aplicação de recobrimento é igual ao índice de p_{#}(π_{1}(X, x_{0})) em π_{1}(Y, y_{0}).

3.3 Corolário: Se p : X → Y é uma aplicação de recobrimento com X simplesmente conexo então o número de folhas é igual à ordem de π_{1}(Y, y_{0}), já que π_{1}(X, x_{0}) = 0.

Por exemplo, desde que S^{n} é simplesmente conexo para n > 1 e S^{n} é uma cobertura dupla para o plano projetivo real P^{n}, segue que π_{1}(P^{n}) ≈ ℤ_{2}.

4 Transformações “deck”

Continuaremos usando uma aplicação de recobrimento p : X → Y fixada e as notações da seção anterior.

4.1 Definição: Seja p : X → Y uma aplicação de recobrimento. Um homeomorfismo D : X → X que cobre a aplicação identidade em Y, isto é, p∘D = p, é chamada de transformação “deck” ou automorfismo da cobertura.

Se D é uma transformação “deck” então D^{−1} também é uma transformação “deck”. O mesmo vale para a composição de duas transformações “deck” da mesma cobertura. Assim, tais transformações formam um grupo Δ = Δ(p), com a operação de composição.

Pelo lema 2.3, se D ∈ Δ e D(x) = x para algum x ∈ X então D = Id.

4.2 Proposição: Se D ∈ Δ, α ∈ π_{1}(Y, y_{0}) e x ∈ p^{−1}(y_{0}) então D(x) · α = D(x · α). Podemos dizer então que uma transformação “deck” comuta com a ação do grupo na fibra.

Prova: Sejam f um laço baseado em y_{0}, representando α, e g um levantamento de f começando em x. Então g(1) = x · α, por definição. Assim, o caminho D ∘ g é um levantamento de f começando em D(x) e terminando em D(x) · α. Porém, seu extremo final é a imagem por D do extremo final de g, isto é, D(x · α), de onde segue a igualdade.

Lembramos que o normalizador de um subgrupo H de um grupo G é

N(H) = {n ∈ G; nHn^{−1} = H}.

4.3 Teorema: Seja x_{0} ∈ X, com p(x_{0}) = y_{0}, e seja x ∈ p^{−1}(y_{0}). Então são equivalentes as seguintes afirmações:

i. existe D ∈ Δ tal que D(x_{0}) = x.

ii. existe α ∈ N(p_{#}(π_{1}(X, x_{0}))) tal que x = x_{0} · α.

iii. p_{#}(π_{1}(X, x_{0})) = p_{#}(π_{1}(X, x)).

Prova: Pelo teorema 2.1, uma aplicação D cobrindo a identidade e enviando x_{0} em x existe se, e somente se, p_{#}(π_{1}(X, x_{0})) ⊂ p_{#}(π_{1}(X, x)). Analogamente, uma aplicação D′ cobrindo a identidade e enviando x em x_{0} existe se, e somente se, valer a inclusão oposta. Assumindo (i), temos então a existência de D e D′ e portanto vale (iii). Reciprocamente, assumindo (iii) teremos D, D′ e então D ∘ D′ cobre a identidade e tem um ponto em comum com a identidade. Logo, pelo lema 2.3, temos D ∘ D′ = Id. Isto prova a equivalência de (i) e (iii).

Notemos as igualdades de conjuntos

J_{x_{0}·α} = {β; (x_{0} · α) · β = x_{0} · α}
= {β; x_{0} · αβα^{−1} = x_{0}}
= {β; αβα^{−1} ∈ J_{x_{0}}}

e assim

J_{x_{0}·α} = α^{−1}J_{x_{0}}α.

Provemos agora que (ii)⇔(iii), lembrando que J_{x_{0}} = p_{#}(π_{1}(X, x_{0})). Suponhamos (iii), isto é, que J_{x_{0}} = J_{x} e que x = x_{0} · α (tal α existe desde que J é transitivo em F). Então

J_{x_{0}} = J_{x} = J_{x_{0}·α} = α^{−1}J_{x_{0}}α

nos mostra que α ∈ N(J_{x_{0}}), ou seja, vale (ii). Reciprocamente, se x = x_{0} · α e α ∈ N(J_{x_{0}}) então

J_{x} = J_{x_{0}·α} = α^{−1}J_{x_{0}}α = J_{x_{0}}

e assim vale (iii).

4.4 Corolário: O subgrupo p_{#}(π_{1}(X, x_{0})) é normal em π_{1}(Y, y_{0}) se, e somente se, Δ é (simplesmente) transitivo em p^{−1}(y_{0}).

4.5 Corolário: Se x varia em p^{−1}(y_{0}) e x_{0} é um tal ponto como no teorema, então p_{#}(π_{1}(X, x)) varia sobre todos os conjugados de p_{#}(π_{1}(X, x_{0})).

4.6 Definição: Dizemos que uma aplicação de recobrimento p é regular se Δ é transitivo na fibra p^{−1}(y_{0}), isto é, se p_{#}(π_{1}(X, x_{0})) é normal em π_{1}(Y, y_{0}).

Os exemplos (1-4) da seção 1 são todos regulares.

4.7 Definição: Definimos uma função Θ : N(J_{x_{0}}) → Δ por Θ(α) = D_{α}, onde D_{α} é a única transformação “deck” tal que D_{α}(x_{0}) = x_{0} · α.

4.8 Teorema (Classificação das transformações “deck”): A aplicação Θ : N(J_{x_{0}}) → Δ é um epimorfismo com núcleo J_{x_{0}}. Conseqüentemente,

Δ ≈ \frac{N(p_{#}(π_{1}(X, x_{0})))}{p_{#}(π_{1}(X, x_{0}))}.

Prova: Notemos que Θ é um homomorfismo, pois

D_{β}D_{α}(x_{0}) = D_{β}(x_{0} · α) = (D_{β}(x_{0})) · α = (x_{0} · β) · α = x_{0} · (βα) = D_{βα}(x_{0}).

Em seguida, notemos que se D ∈ Δ e se D(x_{0}) = x, pelo teorema 4.3, existe α ∈ N(J_{x_{0}}) tal que D(x_{0}) = x = x_{0} · α = D_{α}(x_{0}), ou seja, D = D_{α}. Logo, Θ é sobrejetiva. Finalmente, calculemos o núcleo de Θ. Observemos que D_{α} = Id se, e somente se, x_{0} · α = x_{0}, ou ainda, se, e somente se, α ∈ J_{x_{0}}. Daí, segue o resultado.

4.9 Corolário: Se a aplicação de recobrimento p : X → Y é regular então

Δ ≈ π_{1}(Y, y_{0})/p_{#}(π_{1}(X, x_{0})).

4.10 Corolário: Se p : X → Y é uma aplicação de recobrimento com X simplesmente conexo então

Δ ≈ π_{1}(Y, y_{0}).

Discutiremos agora alguns exemplos. A cobertura ℝ → S^{1} tem como transformações “deck” as translações inteiras de ℝ, ou seja, translações por quantidades inteiras. Como ℝ é simplesmente conexo, pelo corolário 4.10, temos π_{1}(S^{1}) ≈ Δ ≈ ℤ, como já sabíamos.

Analogamente, a cobertura do toro pelo plano tem como transformações “deck” as translações inteiras em ambas as coordenadas, de modo que o grupo fundamental do toro S^{1} × S^{1} é ℤ ⊕ ℤ.

Qualquer cobertura dupla por um espaço simplesmente conexo tem exatamente duas transformações “deck”, a identidade e uma outra que “torce as folhas”. Assim, o grupo fundamental do espaço base deve ser ℤ_{2}. Por exemplo, π_{1}(P^{n}) ≈ ℤ_{2}, para n ≥ 2.

5 Ações propriamente descontínuas

Lembramos que uma ação de um grupo G sobre um espaço X é uma aplicação (função contínua) G × X → X, onde a imagem de (g, x) será denotada por g · x, tal que (gh) · x = g · (h · x) e 1 · x = x. Para x ∈ X, a órbita de x é o conjunto G · x = {g · x; g ∈ G}, de modo que duas órbitas ou são disjuntas ou são idênticas e assim particionam o espaço X. O conjunto de todas as órbitas é denotado por X/G, com a topologia quociente da aplicação X → X/G que envia x em G · x, e é chamado de espaço órbita. O subgrupo G_{x} = {g ∈ G : g · x = x} é chamado grupo de isotropia de x (ou estabilizador). A ação é transitiva se existe somente uma órbita e é efetiva se o único elemento que fixa todo x é o elemento neutro 1 ∈ G.

Notemos que a aplicação canônica p : X → X/G é aberta desde que, para U ⊂ X aberto e U^{∗} = p(U), temos

p^{−1}(U^{∗}) = ⋃{g · U; g ∈ G}

que é uma união de conjuntos abertos, e portanto é aberto. Por definição da topologia quociente, temos então que U^{∗} é um conjunto aberto.

5.1 Definição: Uma ação de um grupo G sobre um espaço X é dita ser propriamente descontínua se cada ponto x ∈ X possui uma vizinhança U tal que se g · U ∩ U ≠ ∅ então g = 1.

Por exemplo, se p : X → Y é uma aplicação de recobrimento então a ação do grupo Δ (das transformações “deck”) é propriamente descontínua. Além disso, se p é regular então X/Δ ≈ Y.

5.2 Proposição: Seja X um espaço de Hausdorff, conexo por caminhos e localmente conexo por caminhos, com uma ação propriamente descontínua de G sobre X. Então, p : X → X/G é uma aplicação de recobrimento regular com grupo de transformações “deck” Δ = G.

Prova: Seja U ⊂ X um aberto conexo por caminhos, como na definição 5.1, e seja U^{∗} = p(U), que é aberto. Desde que U → U^{∗} é contínua, U^{∗} é conexo por caminhos. Também, os conjuntos g · U são as componentes de p^{−1}(U^{∗}) e como as aplicações g · U → U^{∗} são contínuas, abertas e bijetivas, então são homeomorfismos. Assim, p é uma aplicação de recobrimento. Os elementos de G são transformações “deck” e agem transitivamente sobre uma fibra. Pelo lema 2.3 não existem outras.

5.3 Corolário: Seja X simplesmente conexo e localmente conexo por caminhos com uma ação de G em X propriamente descontínua. Então π_{1}(X/G) ≈ G.

Prova: Pela proposição 5.2, p : X → X/G é uma aplicação de recobrimento regular e Δ = G. Pelo corolário 4.10, G ≈ π_{1}(X/G).

5.4 Exemplo (Garrafa de Klein): Seja G o grupo de transformações do plano gerado por f e g, onde f(x, y) = (x, y + 1) e g(x, y) = (x + 1, 1 − y). Uma observação mais geométrica desta ação nos mostra que o espaço órbita ℝ^{2}/G é a garrafa de Klein. O grupo G é gerado pelos elementos f e g, com a relação fg = gf^{−1}. Assim, G é não-abeliano e possui um subgrupo normal cíclico infinito H = ⟨f⟩, gerado por f. Portanto, G/H também é cíclico infinito, gerado pela classe lateral gH. Pelo corolário 5.3, G é o grupo fundamental da garrafa de Klein.

Capítulo II

Homologia com coeficientes locais

O estudo de homologia com coeficientes locais será importante para a finalização do trabalho, pois teremos que saber quem são os grupos de cohomologia de dimensão dois das superfícies sobre as quais classificaremos os 2-fibrados. Ressaltamos que esse conceito não é muito explorado na literatura. Começamos o capítulo com uma revisão sobre complexo de cadeias e terminamos com o cálculo das homologias de alguns espaços. A referência principal para esse capítulo é [4].

6 Complexo de cadeias

Colocamos aqui algumas terminologias e resultados sobre complexos de cadeias. Omitiremos algumas provas, que podem ser encontradas em [2].

Seja R um anel arbitrário. Um R-módulo graduado é uma seqüência C = (C_{n})_{n∈ℤ} de R-módulos. Se x ∈ C_{n}, dizemos que x tem grau n e escrevemos deg(x) = n. Uma aplicação de grau p de um R-módulo graduado C para um R-módulo graduado C′ é uma família f = (f_{n} : C_{n} → C′_{n+p})_{n∈ℤ} de homomorfismos de R-módulos.

6.1 Definição (Complexo de cadeias): Um complexo de cadeias sobre R é um par (C, d) onde C é um R-módulo graduado e d : C → C é uma aplicação de grau −1 tal que d^{2} = 0. A aplicação d é chamada diferencial ou operador bordo de C. Às vezes, omitimos d da notação e simplesmente dizemos que C é um complexo de cadeias.

6.2 Definição (Homologia): Definimos os ciclos Z(C), os bordos B(C) e a homologia H(C) por

Z(C) = Ker(d), B(C) = Im(d), H(C) = Z(C)/B(C).

Se (C, d) e (C′, d′) são complexos de cadeias então uma aplicação de cadeias de C para C′ é um homomorfismo de módulos graduados f : C → C′ de grau 0 tal que d′f = fd. Uma homotopia h de uma aplicação de cadeias f a uma aplicação de cadeias g é um homomorfismo de módulos graduados h : C → C′ de grau 1 tal que d′h + hd = f − g. Escrevemos f ≃ g e dizemos que f é homotópica a g se existe uma homotopia de f a g.

6.3 Proposição: Uma aplicação de cadeias f : C → C′ induz uma aplicação f^{∗} : H(C) → H(C′) e f^{∗} = g^{∗} se f ≃ g.

Uma aplicação de cadeias f : C → C′ é chamada equivalência de homotopia se existe uma aplicação de cadeias f′ : C′ → C tal que ff′ ≃ Id_{C′} e f′f ≃ Id_{C}. É chamada equivalência fraca se f^{∗} : H(C) → H(C′) é um isomorfismo. Lembramos que qualquer equivalência de homotopia é uma equivalência fraca.

Um complexo de cadeias C é chamado contrátil se é homotopicamente equivalente ao complexo nulo, ou equivalentemente, se Id_{C} ≃ 0.

6.4 Proposição: Uma seqüência exata curta

\xymatrix{0 \ar[r] & C′ \ar[r]^{i} & C \ar[r]^{j} & C′′ \ar[r] & 0}

de complexos de cadeias dá origem à uma seqüência exata longa em homologia

\xymatrix{⋯ \ar[r] & H_{n}(C′) \ar[r]^{i^{∗}} & H_{n}(C) \ar[r]^{j^{∗}} & H_{n}(C′′) \ar[r]^{∂} & H_{n−1}(C′) \ar[r] & ⋯} .

Além do mais, se o diagrama

\xymatrix{0 \ar[r] & C′ \ar[r] \ar[d] & C \ar[r] \ar[d] & C′′ \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & E′ \ar[r] & E \ar[r] & E′′ \ar[r] & 0}

é comutativo e as linhas são exatas então o quadrado abaixo é comutativo.

\xymatrix{H_{n}(C′′) \ar[r] \ar[d] & H_{n−1}(C′) \ar[d] \\ H_{n}(E′′) \ar[r] & H_{n−1}(E′)}

7 Homologia com coeficientes locais

Quando estudamos teoria de homotopia de espaços não-simplesmente conexos, devemos considerar uma ação do grupo fundamental sobre algum grupo abeliano. Sistemas de coeficientes locais são uma ferramenta para organizarmos essa informação. A teoria torna-se mais complicada pelo fato de termos que considerar anéis não-comutativos.

Existem duas abordagens para a construção do complexo que nos dá a homologia e co-homologia com coeficientes locais de um espaço. A primeira é mais algébrica e tem como ponto de vista que o complexo de cadeias que será associado a um espaço X é um complexo singular (ou celular) da cobertura universal X̃, visto como um complexo de cadeias sobre o anel de grupos ℤ[π_{1}(X)]. Deste ponto de vista, coeficientes locais nada mais são que módulos sobre o anel de grupos ℤ[π_{1}(X)].

A segunda abordagem é mais topológica; consideramos um sistema de coeficientes locais sobre X (ou seja, um fibrado sobre X cujas fibras são grupos abelianos e cujas funções transição tomam valores nos automorfismos do grupo estrutural do fibrado - ver capítulo IV) e definimos um complexo de cadeias considerando as cadeias como somas formais de simplexos singulares (ou celulares), com os coeficientes de um simplexo sendo um elemento da fibra sobre aquele simplexo (por isso a terminologia coeficientes locais). Porém, não abordaremos tal construção e sim apenas a primeira.

Neste capítulo trabalharemos com ℤ-módulos (módulos sobre o anel ℤ) e módulos sobre o anel de grupos ℤ[π], que por facilidade de notação, denotaremos por ℤπ.

Começamos então com a definição de anel de grupos.

7.1 Definição: O anel de grupos ℤπ é um anel associado ao grupo π. Aditivamente é o grupo livre abeliano sobre π, ou seja, os elementos são combinações lineares finitas dos elementos do grupo

m_{1}g_{1} + ⋯ + m_{k}g_{k} m_{i} ∈ ℤ, g_{i} ∈ π.

A multiplicação é dada pela lei distributiva e pela multiplicação em π por

(∑_{i} m_{i}g_{i}) (∑_{j} n_{j}h_{j}) = ∑_{i,j}(m_{i}n_{j})(g_{i}h_{j}).

Quando lidamos com anel de grupos, usamos a notação multiplicativa para o grupo π e seu elemento neutro passa a ser denotado por 1, que é também o elemento unidade no anel ℤπ.

Um exemplo de anel de grupos (com a notação padrão) é

ℤ[ℤ] = ℤ[t, t^{−1}] = {a_{−j}t^{−j} + ⋯ + a_{0} + ⋯ + a_{k}t^{k}; a_{n} ∈ ℤ}.

Trabalharemos com módulos sobre ℤπ, ou equivalentemente, ℤπ-módulos (ou π-módulos). Se π não é abeliano o anel ℤπ não é necessariamente comutativo e assim devemos distinguir entre módulos à direita e módulos à esquerda.

Seja A um grupo abeliano e seja

ρ : π → Aut_{ℤ}(A)

um homomorfismo. Neste caso dizemos que ou ρ ou A é uma representação de π. A representação ρ induz em A uma estrutura de ℤπ-módulo à esquerda, onde a ação é dada por

(∑_{g∈π} m_{g}g) · a = ∑_{g∈π} m_{g}ρ(g)(a).

Reciprocamente, se A é um módulo à esquerda sobre o anel de grupos ℤπ, existe um homomorfismo

ρ : π → Aut_{ℤ}(A)

dado por g ↦ (a ↦ ga), onde ga é a multiplicação de a ∈ A por g ∈ ℤπ. Assim, uma representação de um grupo π sobre um grupo abeliano é o mesmo que um ℤπ-módulo.

Rapidamente, colocaremos a definição do produto tensorial no caso nãocomutativo.

7.2 Definição (Produto tensorial): Sejam R um anel (possivelmente não-comutativo), M um R-módulo à direita e N um R-módulo à esquerda. Então o produto tensorial M ⊗_{R} N é um grupo abeliano satisfazendo a propriedade

Hom_{ℤ}(M ⊗_{R} N, A) ≈ Hom_{R}(M, Hom_{ℤ}(N, A))

para qualquer grupo abeliano A.

Construímos tal produto tomando o grupo abeliano livre em M × N e ajustando as relações desejadas. Elementos de M ⊗_{R} N são denotados por

∑ m_{i} ⊗ n_{i}.

A relação mr ⊗ n = m ⊗ rn vale (e este é o motivo de tomarmos um módulo à direita tensorializado com um módulo à esquerda).

O primeiro ponto na construção algébrica de homologia com coeficientes locais é observarmos que o complexo de cadeias singulares da cobertura universal de um espaço é um ℤπ-módulo à direita, ou seja, ℤπ age em tal complexo.

Para isso, seja X um espaço conexo por caminhos e localmente conexo por caminhos, com ponto base escolhido, que admite uma cobertura universal. Para facilidade de notação, seja π = π_{1}(X). Seja X̃ → X a cobertura universal de X, com a ação à direita usual de π, pela identificação de π com o grupo das transformações “deck” (ver I.4). Então o complexo singular S_{∗}(X̃) da cobertura universal (com coeficientes inteiros) é um ℤπ-módulo à direita; a ação de g ∈ π em um simplexo singular σ : Δ^{k} → X̃ é o simplexo singular σ · g definido como a composição de σ e da transformação “deck” g : X̃ → X̃. Esta se estende de π para ℤπ por linearidade.

Podemos agora introduzir a definição de homologia com coeficientes locais.

7.3 Definição: Dado um ℤπ-módulo A, formamos o produto tensorial

S_{∗}(X; A) = S_{∗}(X̃) ⊗_{ℤπ} A.

Este é um complexo de cadeias cuja homologia é chamada a homologia de X com coeficientes locais em A, denotada por H_{∗}(X; A).

Notemos que, desde que o anel ℤπ é não-comutativo (exceto se π for abeliano), o complexo de cadeias tensorializado tem somente a estrutura de um complexo de cadeias sobre ℤ, não sobre ℤπ. Assim, o grupo de homologia H_{∗}(X; A) é somente um ℤ-módulo. Tal informação será importante para justificar alguns fatos que ocorrerão durante o cálculo das homologias.

Se o ℤπ-módulo A é especificado por ρ : π_{1}(X) → Aut(A), e se quisermos enfatizar tal representação, escreveremos então H_{∗}(X; A_{ρ}). Às vezes, é comum chamarmos H_{∗}(X; A_{ρ}) de homologia de X torcida por ρ.

Há também a definição correspondente de co-homologia. Porém, há um pequeno detalhe. Desde que Hom_{ℤπ}(−, −) está definido na categoria de pares de R-módulos à direita ou R-módulos à esquerda, precisamos mudar S_{∗}(X̃) para um ℤπ-módulo à esquerda ou considerar coeficientes em ℤπ-módulos à direita. Optaremos pela primeira opção.

Assim, transformamos S_{∗}(X̃) em um ℤπ-módulo à esquerda pelo processo padrão: definimos a ação por

g · z = z · g^{−1}.

7.4 Definição: Dado um ℤπ-módulo à esquerda A, formamos o complexo de cadeias

S^{∗}(X; A) = Hom_{ℤπ}(S_{∗}(X̃), A),

o conjunto dos homomorfismos de grupos f : S_{∗}(X̃) → A, que satisfazem f(rz) = rf(z), para todo r ∈ ℤπ e z ∈ S_{∗}(X̃). A co-homologia deste complexo é chamada a co-homologia de X com coeficientes locais em A, denotada por H^{∗}(X; A).

Faremos agora alguns exemplos, para ilustrarmos como o processo funciona e como calculamos os grupos de homologia com coeficientes torcidos. Usaremos sempre o anel ℤ e portanto teremos Aut(ℤ) ≈ ℤ_{2} e sempre denotaremos π = π_{1}(X). Em alguns exemplos, usaremos uma decomposição simplicial para o espaço de recobrimento e em outros, usaremos uma decomposição celular. Mas o importante é que sempre construiremos uma seqüência semi-exata de grupos livres, na verdade, de ℤπ-módulos livres, bastando assim calcularmos a diferencial apenas em seus geradores.

8. Homologia da S^{1} 23

8 Homologia da S^{1}

Nesta seção, calcularemos os grupos de homologia da S^{1} usando as duas possíveis representações ρ : π → Aut(ℤ). Como π possui um gerador t, ρ fica bem determinada se a definirmos em t, que poderá ser enviado em ±1.

Um fato importante aqui é que usaremos a decomposição simplicial de S̃^{1}, representada abaixo (figura 2.1), como sendo a cobertura para S^{1}, que também será decomposta usando os simplexos abaixo. A figura 2.1 mostra a cobertura e o espaço base.

[figure: v_{2}; v_{0}; v_{1}; v_{2}^{−1}; •; v_{0}^{0}; v_{1}^{0}; σ_{0}; v_{2}^{0}; σ_{1}; •; v_{0}^{1}; σ_{2}; v_{1}^{1}; v_{2}^{1}]

Figura 2.1: Decomposição simplicial de S̃^{1}.

A ação de π em S̃^{1} é via translações e assim o grupo dos 0-simplexos de S̃^{1} é gerado por três elementos, que são v_{0}^{0}, v_{1}^{0}, v_{2}^{0} (por facilidade de notação, denotaremos apenas por v_{0}, v_{1}, v_{2}). Analogamente temos os geradores σ_{0}, σ_{1}, σ_{2} para o grupo dos 1-simplexos de S̃^{1}. Resumidamente, podemos então escrever

S_{2}(S̃^{1}) = 0, S_{1}(S̃^{1}) = ℤπ[σ_{0}, σ_{1}, σ_{2}] e S_{0}(S̃^{1}) = ℤπ[v_{0}, v_{1}, v_{2}],

dando origem à seqüência

\xymatrix{⋯ \ar[r] & 0 \ar[r] & ℤπ[σ_{0}, σ_{1}, σ_{2}] \ar[r]^{∂_{1}} & ℤπ[v_{0}, v_{1}, v_{2}] \ar[r] & 0} .

Montamos a matriz M_{1} = [∂_{1}], onde

∂_{1}(σ_{0}) = v_{1} − v_{0}, ∂_{1}(σ_{1}) = v_{2} − v_{1}, ∂_{1}(σ_{2}) = v_{0}^{1} − v_{2} = t · v_{0} − v_{2}

e transpondo nas colunas temos

M_{1} = [ \begin{matrix}−1 & 0 & t \\ 1 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & −1 \end{matrix} ] .

Lembramos que, para calcularmos a homologia com coeficientes locais, precisamos tensorializar a seqüência e daí passamos a trabalhar com ℤmódulos. Isto será feito escolhendo uma representação ρ. Faremos agora os dois casos.

8.1 ρ não-trivial

Aqui, usaremos a representação ρ que envia t em −1, isto é, ρ(t) = −1. Deste modo, t · v_{0} = ρ(t)v_{0} = −v_{0} e então temos a matriz M_{1} de ∂_{1} sendo

M_{1} = [ \begin{matrix}−1 & 0 & −1 \\ 1 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & −1 \end{matrix} ]

que possui determinante não nulo e portanto Ker(∂_{1}) = 0. Sendo assim,

H_{1}(S^{1}; ℤ_{ρ}) = \frac{Ker(∂_{1})}{Im(∂_{2})} = 0.

Analisando sua imagem temos que, para uma 1-cadeia σ escrita na base como (a, b, c),

[ \begin{matrix}−1 & 0 & −1 \\ 1 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & −1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}−a − c \\ a − b \\ b − c \end{matrix} ]

ou seja,

∂_{1}(σ) = a(v_{1} − v_{0}) + b(v_{2} − v_{1}) + c(−v_{2} − v_{0})

e assim

Im(∂_{1}) = ℤ[v_{1} − v_{0}, v_{2} − v_{1}, −v_{2} − v_{0}].

Como ∂_{0} ≡ 0 temos que Ker(∂_{0}) = ℤ[v_{0}, v_{1}, v_{2}]. Porém,

v_{1} = (v_{1} − v_{0}) + v_{0} e v_{2} = −v_{0} − (−v_{0} − v_{2}),

que pode ser visto como uma mudança de coordenadas através da matriz de determinante −1

[ \begin{matrix}1 & 1 & −1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ] .

Portanto

Ker(∂_{0}) = ℤ[v_{0}, v_{1}, v_{2}] = ℤ[v_{0}, v_{1} − v_{0}, −v_{0} − v_{2}].

Notemos que, se mudarmos a base {σ_{0}, σ_{1}, σ_{2}} para {σ_{0} + σ_{1} + σ_{2}, σ_{0}, σ_{2}}, teremos

Im(∂_{1}) = ℤ[−2v_{0}, v_{1} − v_{0}, −v_{0} − v_{2}]

e então podemos concluir que

H_{0}(S^{1}; ℤ_{ρ}) = \frac{Ker(∂_{0})}{Im(∂_{1})} = \frac{ℤ[v_{0}, v_{1} − v_{0}, −v_{0} − v_{2}]}{ℤ[−2v_{0}, v_{1} − v_{0}, −v_{0} − v_{2}]} ≈ \frac{ℤ[v_{0}]}{ℤ[−2v_{0}]} ≈ ℤ_{2}.

8.2 ρ trivial

Por fim, faremos agora o cálculo dos grupos de homologia da S^{1} usando a representação trivial, ou seja ρ(t) = 1. Tal homologia deve coincidir com a tradicionalmente conhecida. Neste caso, a matriz M_{1} torna-se

M_{1} = [ \begin{matrix}−1 & 0 & 1 \\ 1 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & −1 \end{matrix} ]

que possui determinante nulo. Então, se σ é uma 1-cadeia representada por (a, b, c) temos

∂_{1}(σ) = (c − a)v_{0} + (a − b)v_{1} + (b − c)v_{2}

e assim σ ∈ Ker(∂_{1}) se, e somente se, a = b = c, isto é, σ = a(σ_{0} + σ_{1} + σ_{2}). Portanto

Ker(∂_{1}) = ℤ[σ_{0} + σ_{1} + σ_{2}] ≈ ℤ

e como ∂_{2} ≡ 0 temos

H_{1}(S^{1}) = \frac{Ker(∂_{1})}{Im(∂_{2})} ≈ ℤ.

Como Im(∂_{1}) = ℤ[v_{1} − v_{0}, v_{2} − v_{1}, v_{0} − v_{2}] e v_{0} − v_{2} = −(v_{1} − v_{0}) − (v_{2} − v_{1}) então

Im(∂_{1}) = ℤ[v_{1} − v_{0}, v_{2} − v_{1}].

Também, como ∂_{0} ≡ 0 temos

Ker(∂_{0}) = ℤ[v_{0}, v_{1}, v_{2}] = ℤ[v_{1} − v_{0}, v_{2} − v_{1}, v_{2}]

e assim

H_{0}(S^{1}) = \frac{Ker(∂_{0})}{Im(∂_{1})} = \frac{ℤ[v_{1} − v_{0}, v_{2} − v_{1}, v_{2}]}{ℤ[v_{1} − v_{0}, v_{2} − v_{1}]} ≈ ℤ[v_{2}] ≈ ℤ.

Resumindo, podemos então construir a seguinte tabela, mostrando os grupos de homologia da S^{1} segundo às duas representações ρ.

\begin{matrix}ρ(t) & H_{0}(S^{1}) & H_{1}(S^{1}) & H_{n}(S^{1}), n ≥ 2 \\ 1 & ℤ & ℤ & 0 \\ −1 & ℤ_{2} & 0 & 0 \end{matrix}

Tabela 2.1: Homologia da S^{1}.

9 Homologia do toro T

Para o cálculo dos grupos de homologia do toro T, usaremos a decomposição simplicial dada pela figura 2.2 abaixo, composta por um 0-simplexo v, três 1-simplexos σ_{0}, δ_{0}, γ_{0} e dois 2-simplexos α, β. Tal número é resultado das identificações feitas no quadrado, todas representadas na figura.

Temos que π = π_{1}(T) = ℤ ⊕ ℤ age no plano por translações horizontais e/ou verticais e com isso podemos usar T̃ = ℝ^{2} como cobertura para o toro T, decompondo-o como mostrado na figura 2.3 abaixo e tendo os seguintes grupos de cadeias

S_{2}(T̃) = ℤπ[α, β], S_{1}(T̃) = ℤπ[σ_{0}, δ_{0}, γ_{0}] e S_{0}(T̃) = ℤπ[v_{00}],

com a seguinte seqüência associada

\xymatrix{⋯ \ar[r] & 0 \ar[r] & ℤπ[α, β] \ar[r]^{∂_{2}} & ℤπ[σ_{0}, δ_{0}, γ_{0}] \ar[r]^{∂_{1}} & ℤπ[v_{00}] \ar[r] & 0} .

9. Homologia do toro T 27

[figure: •; v; •; v; σ_{0}; •; v; δ_{0}; γ_{0}; •; v; δ_{0}; σ_{0}; α; β]

Figura 2.2: Decomposição simplicial do toro T.

[figure: •; v_{00}; •; v_{10}; α; σ_{0}; •; v_{11}; δ_{1}; γ_{0}; •; v_{01}; σ_{1}; β; δ_{0}; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘]

Figura 2.3: Decomposição simplicial de T̃.

Escrevamos algumas linhas para explicarmos a notação utilizada. Como π possui dois geradores, estes serão denotados por (x, 1) e (1, y). Assim, a ação de um elemento (x^{m}, y^{n}) ∈ π consiste em transladar horizontalmente m unidades e verticalmente n unidades. Com isto em mente, temos que

v_{10} = (x, 1) · v_{00}, v_{01} = (1, y) · v_{00}, v_{11} = (x, y) · v_{00}

e também

δ_{1} = (x, 1) · δ_{0} e σ_{1} = (1, y) · σ_{0},

justificando os geradores dos grupos de cadeias colocados acima.

Em relação às representações ρ, como dito acima temos dois geradores para π e novamente usamos A = ℤ, de modo que Aut(A) ≈ ℤ_{2}. Logo há quatro possíveis representações, sendo três delas não triviais, todas especificadas na tabela abaixo.

(1,1) (x, 1) (1, y) (x, y)
ρ_{1} = Id 1  1  1  1
ρ_{x}  1  −1  1  −1
ρ_{y}  1  1  −1 −1
ρ_{xy}  1  −1 −1  1

Pelo mesmo processo feito no cálculo da homologia da S^{1}, calcularemos a homologia do toro T utilizando as quatro representações acima. Mas antes, vejamos como ficam as matrizes M_{1} = [∂_{1}] e M_{2} = [∂_{2}]. Calculando ∂_{2} na base {α, β} temos:

∂_{2}(α) = σ_{0} + δ_{1} + γ_{0} = σ_{0} + (x, 1) · δ_{0} + γ_{0}
∂_{2}(β) = δ_{0} + σ_{1} + γ_{0} = δ_{0} + (1, y) · σ_{0} + γ_{0}

e transpondo nas colunas obtemos a matriz

M_{2} = [∂_{2}] = [ \begin{matrix}1 & (1, y) \\ (x, 1) & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] .

Calculando ∂_{1} na base {σ_{0}, δ_{0}, γ_{0}} temos:

∂_{1}(σ_{0}) = v_{10} − v_{00} = (x, 1) · v_{00} − (1, 1) · v_{00} = ((x, 1) − (1, 1)) · v_{00}
∂_{1}(δ_{0}) = v_{01} − v_{00} = (1, y) · v_{00} − (1, 1) · v_{00} = ((1, y) − (1, 1)) · v_{00}
∂_{1}(γ_{0}) = v_{00} − v_{11} = (1, 1) · v_{00} − (x, y) · v_{00} = ((1, 1) − (x, y)) · v_{00}

que nos fornece a matriz

M_{1} = [∂_{1}] = [ (x, 1) − (1, 1) (1, y) − (1, 1) (1, 1) − (x, y) ].

Escolheremos agora uma representação e faremos as contas.

9.1 ρ_{x} não trivial

Utilizando ρ_{x} temos

M_{2} = [ \begin{matrix}1 & 1 \\ −1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] e M_{1} = [ −2 0 2 ] .

Se Λ = aα + bβ é uma 2-cadeia então

∂_{2}(Λ) = a(σ_{0} − δ_{0} + γ_{0}) + b(σ_{0} + δ_{0} + γ_{0})

e assim ∂_{2}(Λ) = 0 se, e somente se, a = b = 0, isto é, Ker(∂_{2}) = 0. Logo, já temos que

H_{2}(T; ℤ_{ρ_{x}}) = \frac{Ker(∂_{2})}{Im(∂_{3})} = 0.

Por fim, Im(∂_{2}) = ℤ[σ_{0} − δ_{0} + γ_{0}, σ_{0} + δ_{0} + γ_{0}].

Seja Γ = aσ_{0} + bδ_{0} + cγ_{0} de onde temos

∂_{1}(Γ) = (−2a + 2c)v_{00} = (c − a)2v_{00}

e portanto ∂_{1}(Γ) = 0 se, e somente se, c = a, ou seja, Γ = a(σ_{0} + γ_{0}) + bδ_{0}. Concluímos então que

Ker(∂_{1}) = ℤ[σ_{0} + γ_{0}, δ_{0}]

e também que

Im(∂_{1}) = ℤ[2v_{00}].

Portanto

H_{1}(T; ℤ_{ρ_{x}}) = \frac{Ker(∂_{1})}{Im(∂_{2})} = \frac{ℤ[σ_{0} + γ_{0}, δ_{0}]}{ℤ[σ_{0} − δ_{0} + γ_{0}, σ_{0} + δ_{0} + γ_{0}]}
= \frac{ℤ[σ_{0} + γ_{0} − δ_{0}, δ_{0}]}{ℤ[σ_{0} + γ_{0} − δ_{0}, 2δ_{0}]}
= \frac{ℤ[δ_{0}]}{ℤ[2δ_{0}]} ≈ ℤ_{2}.

Vale observar que ao mudarmos a base {σ_{0} +γ_{0}, δ_{0}} para {σ_{0} +γ_{0} −δ_{0}, δ_{0}} e a base {σ_{0} −δ_{0} +γ_{0}, σ_{0} +δ_{0} +γ_{0}} para {σ_{0} +γ_{0} −δ_{0}, 2δ_{0}}, sempre utilizamos matrizes inteiras de determinante 1, respectivamente as matrizes

[ \begin{matrix}1 & 0 \\ −1 & 1 \end{matrix} ] e [ \begin{matrix}1 & −1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] .

Por último, como ∂_{0} ≡ 0 temos

H_{0}(T; ℤ_{ρ_{x}}) = \frac{Ker(∂_{0})}{Im(∂_{1})} = \frac{ℤ[v_{00}]}{ℤ[2v_{00}]} ≈ ℤ_{2},

encerrando assim o cálculo dos grupos de homologia do toro T utilizando a representação ρ_{x}.

9.2 ρ_{y} não trivial

Utilizando ρ_{y} temos

M_{2} = [ \begin{matrix}1 & −1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] e M_{1} = [ 0 −2 2 ] .

Se Λ = aα + bβ é uma 2-cadeia então

∂_{2}(Λ) = a(σ_{0} + δ_{0} + γ_{0}) + b(−σ_{0} + δ_{0} + γ_{0})

e assim ∂_{2}(Λ) = 0 se, e somente se, a = b = 0, isto é, Ker(∂_{2}) = 0. Logo, já temos que

H_{2}(T; ℤ_{ρ_{y}}) = \frac{Ker(∂_{2})}{Im(∂_{3})} = 0.

Por fim, Im(∂_{2}) = ℤ[σ_{0} + δ_{0} + γ_{0}, −σ_{0} + δ_{0} + γ_{0}].

Seja Γ = aσ_{0} + bδ_{0} + cγ_{0} uma 1-cadeia de modo que

∂_{1}(Γ) = (−2b + 2c)v_{00} = (c − b)2v_{00}

e portanto ∂_{1}(Γ) = 0 se, e somente se, c = b, ou seja, Γ = aσ_{0} + b(δ_{0} + γ_{0}). Concluímos então que

Ker(∂_{1}) = ℤ[σ_{0}, δ_{0} + γ_{0}] e Im(∂_{1}) = ℤ[2v_{00}].

Portanto

H_{1}(T; ℤ_{ρ_{y}}) = \frac{Ker(∂_{1})}{Im(∂_{2})} = \frac{ℤ[σ_{0}, δ_{0} + γ_{0}]}{ℤ[σ_{0} + δ_{0} + γ_{0}, −σ_{0} + δ_{0} + γ_{0}]}
= \frac{ℤ[σ_{0} + δ_{0} + γ_{0}, σ_{0}]}{ℤ[σ_{0} + δ_{0} + γ_{0}, 2σ_{0}]}
= \frac{ℤ[σ_{0}]}{ℤ[2σ_{0}]} ≈ ℤ_{2}.

Vale observar que ao mudarmos a base {σ_{0}, δ_{0} +γ_{0}} para {σ_{0} +δ_{0} +γ_{0}, σ_{0}} e a base {σ_{0}+δ_{0}+γ_{0}, −σ_{0}+δ_{0}+γ_{0}} para {σ_{0}+δ_{0}+γ_{0}, 2σ_{0}}, sempre utilizamos matrizes inteiras de determinante −1, respectivamente as matrizes

[ \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] e [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & −1 \end{matrix} ] .

Por último, como ∂_{0} ≡ 0 temos novamente

H_{0}(T; ℤ_{ρ_{y}}) = \frac{Ker(∂_{0})}{Im(∂_{1})} = \frac{ℤ[v_{00}]}{ℤ[2v_{00}]} ≈ ℤ_{2},

e isto conclui o cálculo dos grupos de homologia do toro T, sobre a representação ρ_{y}.

9.3 ρ_{xy} não trivial

Esta é a última representação não-trivial. Neste caso, temos

M_{2} = [ \begin{matrix}1 & −1 \\ −1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] e M_{1} = [ −2 −2 0 ] .

Se Λ = aα + bβ é uma 2-cadeia então

∂_{2}(Λ) = a(σ_{0} − δ_{0} + γ_{0}) + b(−σ_{0} + δ_{0} + γ_{0})

e assim ∂_{2}(Λ) = 0 se, e somente se, a = b = 0, isto é, Ker(∂_{2}) = 0. Logo, como nos casos anteriores, temos que

H_{2}(T; ℤ_{ρ_{xy}}) = \frac{Ker(∂_{2})}{Im(∂_{3})} = 0.

Por fim, Im(∂_{2}) = ℤ[σ_{0} − δ_{0} + γ_{0}, −σ_{0} + δ_{0} + γ_{0}].

Se Γ = aσ_{0} + bδ_{0} + cγ_{0} é uma 1-cadeia, segue que

∂_{1}(Γ) = (−2a − 2b)v_{00} = (−a − b)2v_{00}

e portanto ∂_{1}(Γ) = 0 se, e somente se, b = −a, ou seja, Γ = a(σ_{0} − δ_{0}) + cγ_{0}. Concluímos então que

Ker(∂_{1}) = ℤ[σ_{0} − δ_{0}, γ_{0}]

e também que

Im(∂_{1}) = ℤ[2v_{00}].

Portanto

H_{1}(T; ℤ_{ρ_{xy}}) = \frac{Ker(∂_{1})}{Im(∂_{2})} = \frac{ℤ[σ_{0} − δ_{0}, γ_{0}]}{ℤ[σ_{0} − δ_{0} + γ_{0}, −σ_{0} + δ_{0} + γ_{0}]}
= \frac{ℤ[σ_{0} − δ_{0} + γ_{0}, γ_{0}]}{ℤ[σ_{0} − δ_{0} + γ_{0}, 2γ_{0}]}
= \frac{ℤ[γ_{0}]}{ℤ[2γ_{0}]} ≈ ℤ_{2}.

Vale observar que ao mudarmos a base {σ_{0} −δ_{0}, γ_{0}} para {σ_{0} −δ_{0} +γ_{0}, γ_{0}} e a base {σ_{0} − δ_{0} + γ_{0}, −σ_{0} + δ_{0} + γ_{0}} para {σ_{0} − δ_{0} + γ_{0}, 2γ_{0}}, acabamos utilizando as matrizes

[ \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] e [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] .

Por último, como ∂_{0} ≡ 0 temos novamente

H_{0}(T; ℤ_{ρ_{xy}}) = \frac{Ker(∂_{0})}{Im(∂_{1})} = \frac{ℤ[v_{00}]}{ℤ[2v_{00}]} ≈ ℤ_{2},

finalizando então os grupos de homologia do toro T, na representação ρ_{xy}.

9.4 ρ_{1} trivial

Utilizando ρ_{1} temos

M_{2} = [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] e M_{1} = [ 0 0 0 ] .

Se Λ = aα + bβ é uma 2-cadeia então

∂_{2}(Λ) = (a + b)σ_{0} + (a + b)δ_{0} + (a + b)γ_{0} = (a + b)(σ_{0} + δ_{0} + γ_{0})

e assim ∂_{2}(Λ) = 0 se, e somente se, b = −a, isto é, Ker(∂_{2}) = ℤ[α − β] ≈ ℤ. Logo, já temos que

H_{2}(T) = \frac{Ker(∂_{2})}{Im(∂_{3})} ≈ ℤ.

Por fim, Im(∂_{2}) = ℤ[σ_{0} + δ_{0} + γ_{0}].

Como ∂_{1} ≡ 0 temos

Ker(∂_{1}) = ℤ[σ_{0}, δ_{0}, γ_{0}]

e obviamente Im(∂_{1}) = 0. Portanto

\begin{aligned}H_{1}(T) = \frac{Ker(∂_{1})}{Im(∂_{2})} = \frac{ℤ[σ_{0}, δ_{0}, γ_{0}]}{ℤ[σ_{0} + δ_{0} + γ_{0}]} & = & \frac{ℤ[σ_{0} + δ_{0} + γ_{0}, δ_{0}, γ_{0}]}{ℤ[σ_{0} + δ_{0} + γ_{0}]} \\ & = & ℤ[δ_{0}, γ_{0}] ≈ ℤ ⊕ ℤ. \end{aligned}

Vale observar que ao mudarmos a base {σ_{0}, δ_{0}, γ_{0}} para {σ_{0}+δ_{0}+γ_{0}, δ_{0}, γ_{0}} utilizamos uma matriz inteira de determinante 1, mais especificamente a matriz

[ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} ] .

Por último, como ∂_{0} ≡ ∂_{1} ≡ 0 temos

H_{0}(T) = \frac{Ker(∂_{0})}{Im(∂_{1})} = ℤ[v_{00}] ≈ ℤ,

finalizando nossos cálculos com a representação ρ_{1}.

Do exposto acima, temos os seguintes grupos de homologia do toro T, nas quatro representações, mostrados na tabela abaixo.

H_{0}(T) H_{1}(T) H_{2}(T) H_{n}(T), n ≥ 3
ρ_{1} = Id  ℤ  ℤ ⊕ ℤ  ℤ  0
ρ_{x}  ℤ_{2}  ℤ_{2}  0  0
ρ_{y}  ℤ_{2}  ℤ_{2}  0  0
ρ_{xy}  ℤ_{2}  ℤ_{2}  0  0

Tabela 2.2: Homologia do toro T.

10 Homologia do plano projetivo ℝP^{2}

Nesta seção, usaremos nossa técnica para o cálculo dos grupos de homologia do P^{2} = ℝP^{2}, o plano projetivo real . Para isso, faremos uso de sua cobertura universal p : S^{2} → P^{2}, na qual usaremos a decomposição celular da S^{2}, mostrada na figura 2.4 abaixo, contendo duas 2-células α, β (os hemisférios superior e inferior, respectivamente), duas 1-células γ, δ e duas 0-células v, w, dando origem à seqüência abaixo

\xymatrix{⋯ \ar[r] & 0 \ar[r]^{∂_{3}} & ℤπ[α] \ar[r]^{∂_{2}} & ℤπ[γ] \ar[r]^{∂_{1}} & ℤπ[v] \ar[r]^{∂_{0}} & 0} .

[figure: •; w; •; v; γ; δ]

Figura 2.4: Decomposição celular da S^{2}.

Lembramos que π = π_{1}(P^{2}) ≈ ℤ_{2} age em S^{2} via aplicação antipodal, isto é, t · x = −x, onde t ∈ π, t ≠ 1. Sendo assim, temos que β = t · α, δ = t · γ e w = t · v.

Calculando o operador bordo ∂_{2} nos elementos da base temos

∂_{2}(α) = γ + δ = γ + t · γ = (1 + t) · γ

10. Homologia do plano projetivo ℝP^{2} 35

e assim a matriz [∂_{2}] é M_{2} = [1 + t]. Para o operador ∂_{1} temos

∂_{1}(γ) = w − v = t · v − v = (t − 1) · v,

com matriz M_{1} = [t − 1].

Como π ≈ ℤ_{2} ≈ Aut(ℤ), temos apenas duas representações ρ : ℤ_{2} → ℤ_{2}, a trivial com ρ_{1} : t ↦ 1 e a não-trivial com ρ_{t} : t ↦ −1. Para cada uma delas, faremos o cálculo dos grupos de homologia.

10.1 ρ_{t} não-trivial

Neste caso, as matrizes tornam-se M_{2} = [0] e M_{1} = [−2] e portanto ∂_{2} ≡ 0 nos dá

H_{2}(P^{2}; ℤ_{ρ_{t}}) = \frac{Ker(∂_{2})}{Im(∂_{3})} = ℤ[α] ≈ ℤ.

Como ∂_{1}(aγ) = −a2v então Ker(∂_{1}) = 0 e Im(∂_{1}) = ℤ[2v]. Logo

H_{1}(P^{2}; ℤ_{ρ_{t}}) = \frac{Ker(∂_{1})}{Im(∂_{2})} = 0 e H_{0}(P^{2}; ℤ_{ρ_{t}}) = \frac{Ker(∂_{0})}{Im(∂_{1})} = \frac{ℤ[v]}{ℤ[2v]} ≈ ℤ_{2}.

10.2 ρ_{1} trivial

Por fim, para ρ_{1} temos as matrizes M_{2} = [2] e M_{1} = [0] e assim ∂_{2}(aα) = a2γ. Portanto, Ker(∂_{2}) = 0 e Im(∂_{2}) = ℤ[2γ] de onde segue que

H_{2}(P^{2}) = \frac{Ker(∂_{2})}{Im(∂_{3})} = 0

e como ∂_{1} ≡ 0 concluímos que

H_{1}(P^{2}) = \frac{Ker(∂_{1})}{Im(∂_{2})} = \frac{ℤ[γ]}{ℤ[2γ]} ≈ ℤ_{2}.

Finalizando, temos que

H_{0}(P^{2}) = \frac{Ker(∂_{0})}{Im(∂_{1})} = ℤ[v] ≈ ℤ.

Fazendo então a tabela da homologia do P^{2}, obtemos

\begin{matrix}ρ(t) & H_{0}(P^{2}) & H_{1}(P^{2}) & H_{2}(P^{2}) & H_{n}(P^{2}), n ≥ 3 \\ 1 & ℤ & ℤ_{2} & 0 & 0 \\ −1 & ℤ_{2} & 0 & ℤ & 0 \end{matrix}

Tabela 2.3: Homologia do plano projetivo ℝP^{2}.

11 Homologia da garrafa de Klein K

Como um último exemplo e aplicação da técnica de cálculo de homologias, trabalharemos agora com a garrafa de Klein. Usualmente, tal espaço pode ser obtido usando o quadrado com as devidas identificações, como mostra a figura 2.5 abaixo.

[figure: •; •; b; •; •; b; a; c; a]

Figura 2.5: Decomposição simplicial da garrafa de Klein K.

Descreveremos a seguir um meio de obtermos a garrafa de Klein como um espaço quociente de ℝ^{2} por uma ação de um grupo π.

Seja então π o grupo gerado pelos homeomorfismos f, g : ℝ^{2} → ℝ^{2}, dados por

f(x, y) = (x, y + 1) e g(x, y) = (x + 1, 1 − y).

Tais funções satisfazem a relação fg = gf^{−1} e então os elementos de π podem ser escritos na forma f^{m}g^{n}, para m, n ∈ ℤ, pois ao comutarmos duas potências de f, g apenas mudamos o sinal da potência, não importando no final, já que trabalhamos com potências em ℤ. Sendo assim, temos as igualdades

f^{m}g^{n}(x, y) = \{ \begin{matrix}(x + n, y + m) & se n é par \\ (x + n, 1 − y − m) & se n é ímpar \end{matrix}

que se verificam com cálculos diretos. Segue que π é um grupo propriamente descontínuo de homeomorfismos de ℝ^{2} e assim o espaço quociente ℝ^{2}/π = K

11. Homologia da garrafa de Klein K 37

é a garrafa de Klein (convença-se geometricamente disso através da figura 2.6 abaixo) e a aplicação quociente p : ℝ^{2} → K exibe o plano como recobrimento universal de K, isto é, K̃ = ℝ^{2}. Portanto o grupo fundamental de K é isomorfo ao grupo π, dos automorfismos desse recobrimento, possuindo dois geradores f, g com a relação fg = gf^{−1}.

[figure: •; v; •; β; σ_{0}; g · v; σ_{1}; •; δ_{1}; γ_{0}; •; α; δ_{0}; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; ∘; γ_{1}]

Figura 2.6: Decomposição simplicial de K̃.

A figura 2.6 mostra uma decomposição simplicial do plano, sobre o qual existe a ação do grupo π. Vale observar que δ_{1} = g · δ_{0}, σ_{1} = f · σ_{0}, γ_{1} = g · γ_{0} e que α e β estão orientados no sentido horário. Podemos então construir a seqüência de complexos de cadeias

\xymatrix{⋯ \ar[r] & 0 \ar[r]^{∂_{3}} & ℤπ[α, β] \ar[r]^{∂_{2}} & ℤπ[σ_{0}, δ_{0}, γ_{0}] \ar[r]^{∂_{1}} & ℤπ[v] \ar[r]^{∂_{0}} & 0}

para montarmos as matrizes M_{2} = [∂_{2}] e M_{1} = [∂_{1}].

Aplicando o operador bordo ∂_{2} nos elementos da base temos

∂_{2}(α) = δ_{0} + f · σ_{0} + γ_{0} e ∂_{2}(β) = −σ_{0} + g · δ_{0} − γ_{0}

cuja matriz torna-se

M_{2} = [∂_{2}] = [ \begin{matrix}f & −1 \\ 1 & g \\ 1 & −1 \end{matrix} ]

e calculando o operador ∂_{1} nos elementos da base temos

∂_{1}(σ_{0}) = v_{10} − v_{00} = gf · v_{00} − v_{00} = (gf − 1) · v_{00}
∂_{1}(δ_{0}) = v_{01} − v_{00} = f · v_{00} − v_{00} = (f − 1) · v_{00}
∂_{1}(γ_{0}) = v_{00} − v_{11} = v_{00} − g · v_{00} = (1 − g) · v_{00}

cuja matriz torna-se

M_{1} = [∂_{1}] = [ gf − 1 f − 1 1 − g ].

Estamos agora no ponto de fazermos a escolha da representação ρ a ser utilizada. Como nosso grupo π possui dois geradores, novamente temos quatro possíveis representações, mostradas na tabela abaixo.

1 f g fg
ρ_{1} = Id 1 1 1 1
ρ_{f}  1 −1 1 −1
ρ_{g}  1 1 −1 −1
ρ_{gf}  1 −1 −1 1

11.1 ρ_{1} trivial

Utilizando a representação ρ_{1} trivial temos

M_{2} = [∂_{2}] = [ \begin{matrix}1 & −1 \\ 1 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ] e M_{1} = [∂_{1}] = [ 0 0 0 ].

Portanto

H_{0}(K) = \frac{Ker(∂_{0})}{Im(∂_{1})} = ℤ[v_{00}] ≈ ℤ

e aplicando ∂_{2} em uma 2-cadeia qualquer temos

∂_{2}(aα + bβ) = a(σ_{0} + δ_{0} + γ_{0}) + b(−σ_{0} + δ_{0} − γ_{0}).

11. Homologia da garrafa de Klein K 39

Sendo assim,

Ker(∂_{2}) = 0 e Im(∂_{2}) = ℤ[σ_{0} + δ_{0} + γ_{0}, −σ_{0} + δ_{0} − γ_{0}], de onde segue que

H_{2}(K) = 0.

Utilizando a matriz [ \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] de determinante 1, mudamos a base \{σ_{0}, δ_{0}, γ_{0}\} para \{σ_{0}, δ_{0}, σ_{0} +δ_{0} +γ_{0}\} e utilizando a matriz [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] mudamos {a, b} para {a, a + b}, onde a = σ_{0} + δ_{0} + γ_{0} e b = −σ_{0} + δ_{0} − γ_{0}, resultando em

\begin{aligned}H_{1}(K) & = & \frac{Ker(∂_{1})}{Im(∂_{2})} = \frac{ℤ[σ_{0}, δ_{0}, γ_{0}]}{ℤ[a, b]} = \frac{ℤ[σ_{0}, δ_{0}, a]}{ℤ[a, a + b]} \\ & = & \frac{ℤ[σ_{0}, δ_{0}]}{ℤ[2δ_{0}]} ≈ ℤ_{2} ⊕ ℤ[σ_{0}] ≈ ℤ_{2} ⊕ ℤ. \end{aligned}

11.2 ρ_{f} não-trivial

Utilizando ρ_{f} temos as matrizes

M_{2} = [∂_{2}] = [ \begin{matrix}−1 & −1 \\ 1 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ] e M_{1} = [∂_{1}] = [ −2 −2 0 ]

e então

∂_{2}(aα + bβ) = a(−σ_{0} + δ_{0} + γ_{0}) + b(−σ_{0} + δ_{0} − γ_{0})

nos fornece ∂_{2}(aα + bβ) = 0 se, e somente se, b = a = 0. Portanto,

Ker(∂_{2}) = 0 e Im(∂_{2}) = ℤ[−σ_{0} + δ_{0} + γ_{0}, −σ_{0} + δ_{0} − γ_{0}]. Analogamente,

∂_{1}(aσ_{0} + bδ_{0} + cγ_{0}) = (−2a − 2b)v_{00} = (a + b)(−2v_{00})

de onde segue que Ker(∂_{1}) = ℤ[σ_{0} − δ_{0}, γ_{0}] e Im(∂_{1}) = ℤ[2v_{00}].

Calculando os grupos de homologia temos

H_{2}(K; ℤ_{ρ_{f}}) = 0,
H_{1}(K; ℤ_{ρ_{f}}) = \frac{Ker(∂_{1})}{Im(∂_{2})} = \frac{ℤ[σ_{0} − δ_{0}, γ_{0}]}{ℤ[−σ_{0} + δ_{0} + γ_{0}, −σ_{0} + δ_{0} − γ_{0}]}
= \frac{ℤ[−σ_{0} + δ_{0} + γ_{0}, γ_{0}]}{ℤ[−σ_{0} + δ_{0} + γ_{0}, 2γ_{0}]} ≈ ℤ_{2},
H_{0}(K; ℤ_{ρ_{f}}) ≈ ℤ_{2}.

Utilizando os mesmos conceitos, podemos calcular os grupos de homologia para as outras duas representações, ρ_{g} e ρ_{gf}. Basta seguir o processo acima.

Obtemos então a tabela da homologia da garrafa de Klein K.

H_{0}(K) H_{1}(K) H_{2}(K) H_{n}(K), n ≥ 3
ρ_{1} = Id  ℤ  ℤ_{2} ⊕ ℤ  0  0
ρ_{f}  ℤ_{2}  ℤ_{2}  0  0
ρ_{g}  ℤ_{2}  ℤ  ℤ  0
ρ_{gf}  ℤ_{2}  ℤ_{2}  0  0

Tabela 2.4: Homologia da garrafa de Klein K.

Capítulo III

Homologia de grupos

Neste capítulo, estudaremos a homologia de um grupo e faremos uma associação com a homologia de um espaço. Porém, utilizaremos uma classe particular, os chamados espaços K(G, 1), e obteremos o resultado da proposição 14.4. Utilizaremos para isso o conceito de resolução livre e assim calcularemos novamente as homologias (e também as co-homologias) dos espaços do capítulo II, porém usando essa nova técnica. A referência para esse capítulo é [2].

12 Resoluções livres

12.1 Definição: Sejam R um anel (associativo com identidade) e M um R-módulo à esquerda. Uma resolução de M é uma seqüência exata de Rmódulos

\xymatrix{⋯ \ar[r] & F_{2} \ar[r]^{∂_{2}} & F_{1} \ar[r]^{∂_{1}} & F_{0} \ar[r]^{ε} & M \ar[r] & 0} .

Se cada F_{i} for livre, então chamamos de resolução livre.

Resoluções livres existem para qualquer módulo M e podem ser construídas por um procedimento óbvio, passo a passo: escolhemos uma sobrejeção ε : F_{0} → M, com F_{0} livre; então, escolhemos uma sobrejeção F_{1} → Ker(ε), com F_{1} livre, etc.... Note que o segmento inicial

\xymatrix{F_{1} \ar[r]^{∂_{1}} & F_{0} \ar[r]^{ε} & M \ar[r] & 0}

de uma resolução livre é simplesmente uma apresentação de M por geradores e relações, ou seja, M ≈ F_{0}/∂_{1}(F_{1}), com F_{0}, F_{1} livres.

Há dois modos úteis de interpretarmos uma resolução em termos de complexo de cadeias. O primeiro é tratarmos a própria resolução como um complexo de cadeias acíclico, com M no nível −1. Nos referiremos a este como o complexo de cadeias aumentado associado à resolução. O segundo modo é considerarmos o complexo de cadeias não-negativo F = (F_{i}, ∂_{i})_{i≥0} e olharmos ε : F → M como uma aplicação de cadeias, onde M é tratado como um complexo de cadeias concentrado na dimensão 0. A hipótese de exatidão, deste ponto de vista, simplesmente diz que ε é uma equivalência fraca.

No caso de existir um inteiro n tal que F_{i} = 0 para i > n, dizemos que a resolução tem comprimento menor ou igual a n. Neste caso, simplesmente escrevemos

\xymatrix{0 \ar[r] & F_{n} \ar[r] & ⋯ \ar[r] & F_{0} \ar[r] & M \ar[r] & 0} .

12.2 Exemplo: Um módulo livre F admite a resolução livre

\xymatrix{0 \ar[r] & F \ar[r]^{Id} & F \ar[r] & 0}

de comprimento zero.

12.3 Exemplo: Se R = ℤ (ou qualquer domínio de ideais principais) então sub-módulos de um módulo livre são livres. Portanto, qualquer módulo M admite uma resolução livre

\xymatrix{0 \ar[r] & F_{1} \ar[r] & F_{0} \ar[r] & M \ar[r] & 0}

de comprimento menor ou igual a 1. Por exemplo, o ℤ-módulo ℤ_{2} admite a resolução

\xymatrix{0 \ar[r] & ℤ \ar[r]^{2} & ℤ \ar[r]^{π} & ℤ_{2} \ar[r] & 0} .

Em geral, dado um R-módulo M, existem várias resoluções livres de M sobre R, porém elas são homotopicamente equivalentes. Discutiremos um pouco esse fato a seguir. Para tanto, deveríamos utilizar módulos projetivos, mas como esses são também livres, não entraremos em detalhes e utilizaremos os resultados apenas para módulos livres.

Para provarmos a unicidade da resolução, necessitamos do seguinte lema, que apenas enunciaremos.

12.4 Lema ([2], I.7.4): Sejam (C, ∂) e (C′, ∂′) complexos de cadeias e seja r um inteiro. Seja (f_{i} : C_{i} → C′_{i})_{i≤r} uma família de aplicações tais que ∂′_{i}f_{i} = f_{i−1}∂_{i}, para i ≤ r. Se C_{i} é livre para i > r e H_{i}(C′) = 0 para i ≥ r,

13. Resoluções de ℤ sobre ℤG 43

então (f_{i})_{i≤r} se estende a uma aplicação de cadeias f : C → C′ e f é única, a menos de homotopia. Mais precisamente, quaisquer duas extensões são homotópicas por uma homotopia h tal que h_{i} = 0 para i ≤ r.

Com este resultado, podemos enunciar e provar o teorema da unicidade.

12.5 Teorema: Dadas duas resoluções F e F′ de um módulo M, existe uma aplicação de cadeias f : F → F′, preservando aumentação, onde f é única a menos de homotopia e é uma equivalência de homotopia.

Prova: Sejam ε : F → M e ε′ : F′ → M duas resoluções livres de um módulo M. Formamos então o complexo de cadeias aumentado com M na dimensão −1 e aplicamos 12.4 com r = −1.

\xymatrix{⋯ \ar[r] & F_{1} \ar[r] \ar@{-->}[d] & F_{0} \ar[r]^{ε} \ar@{-->}[d] & M \ar[r] \ar[d]^{Id_{M}} & 0 \ar[r] \ar[d] & ⋯ \\ ⋯ \ar[r] & F′_{1} \ar[r] & F′_{0} \ar[r]^{ε′} & M \ar[r] & 0 \ar[r] & ⋯}

Assim, concluímos que existe uma aplicação de cadeias f : F → F′ que preserva a aumentação, isto é, satisfaz ε′f = ε. Além disso, f é única, a menos de homotopia. Analogamente, existe uma aplicação f′ : F′ → F que preserva aumentação e f′f ≃ Id_{F} e ff′ ≃ Id_{F′}, provando o teorema.

13 Resoluções de ℤ sobre ℤG

Relembrando, se X é um G-conjunto (isto é, um conjunto X com uma ação de G), podemos formar o grupo abeliano livre ℤX gerado por X e estendermos a ação de G sobre X para uma ação ℤ-linear de G sobre ℤX. O G-módulo (ou ℤG-módulo) resultante é chamado módulo de permutação. Em particular, temos um módulo de permutação ℤ[G/H] para todo subgrupo H de G, onde G/H é o conjunto das classes laterais gH e G age sobre G/H por translações à esquerda.

A operação de união disjunta na categoria dos G-conjuntos corresponde à operação de soma direta na categoria dos G-módulos:

ℤ[⨿X_{i}] = ⊕ℤX_{i}.

Segue que todo módulo de permutação ℤX admite uma decomposição

ℤX ≈ ⊕ℤ[G/G_{x}],

onde x varia sobre um conjunto de representantes para as G-órbitas em X e G_{x} é o subgrupo de isotropia de G em x. Em particular, se X é um G-conjunto livre então G/G_{x} = G e assim obtemos o seguinte:

13.1 Proposição: Sejam X um G-conjunto livre e E um conjunto de representantes para as G-órbitas em X. Então, ℤX é um ℤG-módulo livre com base E.

A seguir, consideraremos ℤ como um G-módulo com a G-ação trivial e veremos que resoluções livres deste módulo surgem de ações livres de G nos complexos contráteis.

Chamamos de G-complexo um CW -complexo X juntamente com uma ação de G em X que permuta as células. Assim, temos para cada g ∈ G um homeomorfismo x ↦ gx de X tal que a imagem gσ de qualquer célula σ de X é novamente uma célula.

Se X é um G-complexo então a ação de G em X induz uma ação de G no complexo de cadeias celular C_{∗}(X), que portanto torna-se um complexo de cadeias de G-módulos. Além disso, a aumentação canônica ε : C_{0}(X) → ℤ (definida por ε(v) = 1, para v uma 0-célula de X) é uma aplicação de Gmódulos.

Diremos que X é um G-complexo livre se a ação de G permuta as células de X, livremente, isto é, gσ ≠ σ se g ≠ 1. Neste caso, cada módulo de cadeias C_{n}(X) tem uma ℤ-base que é livremente permutada por G e portanto, por 13.1, C_{n}(X) é um ℤG-módulo livre com um elemento base para cada G-órbita de células.

Por fim, se X é contrátil, então H_{∗}(X) ≈ H_{∗}(pt); em outras palavras, a seqüência abaixo é exata

\xymatrix{⋯ \ar[r] & C_{n}(X) \ar[r]^{∂_{n}} & C_{n−1}(X) \ar[r] & ⋯ \ar[r] & C_{0}(X) \ar[r]^{ε} & ℤ \ar[r] & 0} .

13.2 Proposição: Seja X um G-complexo livre, contrátil. Então o complexo de cadeias celular aumentado de X é uma resolução livre de ℤ sobre ℤG.

Prova: Utilizando as observações anteriores, a mesma seqüência acima é exata, pois X é contrátil. Também, cada C_{n}(X) é um ℤG-módulo livre. Portanto, pela “primeira interpretação” de resolução, temos que o complexo de cadeias celular de X é uma resolução de ℤ sobre ℤG.

Na teoria de espaços de recobrimento, temos muitos exemplos de Gcomplexos livres. De fato, suponha que p : X̃ → X é uma aplicação de recobrimento regular, com G como grupo das transformações “deck” (ver I, 4.1). Se X é um CW -complexo então X̃ herda uma estrutura de CW - complexo tal que a G-ação permuta as células. Explicitamente, as células abertas de X̃ sobre uma célula aberta σ de X são simplesmente as componentes conexas de p^{−1}(σ). Tais células são livre e transitivamente permutadas por G e cada uma é aplicada homeomorficamente sobre σ por p. Assim, X̃ é um G-complexo livre e C_{∗}(X̃) é um complexo de ℤG-módulos livres, com um elemento base para cada célula de X.

Um tipo de espaço que utilizaremos a seguir é o chamado espaço do tipo K(G, 1), ou seja, um espaço topológico X onde π_{n}(X) = 0 para n ≠ 1 e π_{1}(X) = G. Tal definição se estende para os chamados espaços do tipo K(G, n). Porém, nos interessam apenas os do primeiro tipo. Segue da teoria de homotopia que a condição π_{n}(X) = 0, n ≥ 2, é equivalente a dizer que a cobertura universal X̃ de X é contrátil. Portanto, pelas observações acima e por 13.2, temos:

13.3 Proposição: Se X é um K(G, 1) então o complexo de cadeias celular aumentado da cobertura universal de X é uma resolução livre de ℤ sobre ℤG (ou seja, a seqüência abaixo é exata, onde C_{i}(X̃) são ℤG-módulos).

\xymatrix{⋯ \ar[r] & C_{n}(X̃) \ar[r]^{∂_{n}} & C_{n−1}(X̃) \ar[r] & ⋯ \ar[r] & C_{0}(X̃) \ar[r]^{ε} & ℤ \ar[r] & 0}

14 A homologia de um grupo

14.1 Definição: Sejam G um grupo e M um G-módulo. O grupo de coinvariantes de M, denotado por M_{G}, é definido como o quociente de M pelo subgrupo aditivo gerado pelos elementos da forma gm − m, g ∈ G, m ∈ M. Também pode ser visto como M_{G} ≈ ℤ ⊗_{ℤG} M.

Temos então os dois seguintes resultados:

1. Dada uma seqüência exata \xymatrix{M′ \ar[r] & M \ar[r] & M′′ \ar[r] & 0} de G-módulos, a seqüência induzida \xymatrix{M′_{G} \ar[r] & M_{G} \ar[r] & M′′_{G} \ar[r] & 0} é exata.

2. Se F é um ℤG-módulo livre com base (e_{i}) então F_{G} é um ℤ-módulo livre com base (\overline{e}_{i}).

14.2 Proposição: Sejam X um G-complexo livre e Y = X/G o complexo órbita. Então C_{∗}(Y) ≈ C_{∗}(X)_{G}.

Prova: A projeção C_{∗}(X) → C_{∗}(Y) induz, por passagem ao quociente, uma aplicação φ : C_{∗}(X)_{G} → C_{∗}(Y). Pelo item (2) acima, C_{∗}(X)_{G} tem uma ℤbase com um elemento base para cada G-órbita de células de X. Mas C_{∗}(Y) também possui tal propriedade e φ aplica um elemento base de C_{∗}(X)_{G} no correspondente elemento base de C_{∗}(Y). Logo φ é um isomorfismo.

Definiremos agora a homologia de um grupo G, algebricamente.

14.3 Definição: Sejam G um grupo e ε : F → ℤ uma resolução livre de ℤ sobre ℤG. Definimos os grupos de homologia de G por

H_{i}(G) = H_{i}(F_{G}).

Pode-se provar que F_{G} independe da resolução escolhida, a menos de homotopia, e assim a definição vale para qualquer resolução.

Se Y é um K(G, 1)-complexo com cobertura universal X, sabemos de 13.3 que C_{∗}(X) é uma resolução livre de ℤ sobre ℤG. Desde que C_{∗}(X)_{G} ≈ C_{∗}(Y), por 14.2, obtemos o seguinte:

14.4 Proposição: Se Y é um K(G, 1)-complexo então H_{∗}(G) ≈ H_{∗}(Y).

Posteriormente usaremos tal resultado para o cálculo das homologias de determinadas superfícies. Faremos isso utilizando uma resolução para G, onde G será o grupo fundamental da superfície. Mais especificamente, trabalharemos com superfícies cujo grupo fundamental π_{1} é obtido mediante um grupo livre com um número finito de relações. Expliquemos melhor tal conceito e para isso necessitamos das definições abaixo.

14.5 Definição: Dado um grupo H, definimos o subgrupo comutador por

H′ = {[a, b]; a, b ∈ H},

onde [a, b] = aba^{−1}b^{−1}. Tal subgrupo é normal em H e definimos então o quociente H_{ab} = H/H′, que é um grupo abeliano.

14.6 Definição ([12], 10.1): Um grupo G tem geradores S e relações Δ se G = F (S)/R(Δ), onde F (S) é o grupo livre com base S, Δ é um conjunto de combinações ℤ-lineares de elementos de S e R(Δ) é o subgrupo de F (S) gerado por Δ. Se pudermos tomar S finito, G será finitamente gerado.

14.7 Observação: Para superfícies orientáveis M_{g} de genus g, sabemos que possuem uma estrutura celular com uma 0-célula, 2g 1-células e uma 2-célula. O 1-esqueleto é o “wedge” de 2g circunferências, com grupo fundamental livre com 2g geradores. A 2-célula é colada ao longo do laço dado pelo produto dos comutadores destes geradores, digamos [a_{1}, b_{1}] ⋯ [a_{g}, b_{g}]. Portanto

π_{1}(M_{g}) ≈ ⟨ a_{1}, b_{1}, …, a_{g}, b_{g} | [a_{1}, b_{1}] ⋯ [a_{g}, b_{g}] ⟩,

onde ⟨g_{α}|γ_{β}⟩ denota o grupo com geradores g_{α} e relações γ_{β}, ou seja, o grupo livre com geradores g_{α} módulo o subgrupo normal gerado pelas palavras γ_{β} sobre estes geradores. Superfícies não-orientáveis podem ser tratadas do mesmo modo. Se colarmos uma 2-célula ao “wedge” de g circunferências, seguindo a palavra a_{1}^{2} ⋯ a_{g}^{2}, obtemos uma superfície não-orientável N_{g}. Por exemplo, N_{1} é o plano projetivo ℝP^{2}, obtido do disco D^{2} identificando os pontos antípodas em ∂D^{2}. Já N_{2} é a garrafa de Klein, cuja representação mais usual é dada pelo quadrado com lados identificados pela palavra abab^{−1}. Se cortarmos o quadrado em uma diagonal e colocarmos os dois triângulos resultantes como na figura abaixo, obtemos outra representação, dada por um quadrado com lados identificados pela palavra b^{2}c^{2}.

N_{1} N_{2}^{[figure: •; •; a; a; b; b; a; c; a; ⇝; b; b; a; c; c]}

Com a notação da definição 14.6, enunciamos:

14.8 Proposição: Se G = F (S)/R então existe uma seqüência exata

\xymatrix{0 \ar[r] & R_{ab} \ar[r]^{θ} & ℤG^{(S)} \ar[r]^{∂_{1}} & ℤG \ar[r]^{ε} & ℤ \ar[r] & 0}

de G-módulos, onde ℤG^{(S)} é livre com base (e_{s})_{s∈S} e ∂_{1}(e_{s}) = \overline{s} − 1.

A aplicação θ citada acima está descrita explicitamente em [2], 2.5.3, porém apenas a utilizaremos mais à frente. Além disso, se G = F (S)/R, onde R é o fêcho normal em F (S) de r_{1}, r_{2}, … então R_{ab} é gerado (como G-módulo) pelas imagens de r_{1}, r_{2}, . . ..

14.9 Definição (Derivação): Sejam G um grupo e M um G-módulo. Uma derivação de G em M é uma função d : G → M tal que d(gh) = dg + gdh, para todo g, h ∈ G.

Pode-se mostrar que, dado um grupo livre F = F (S), existe um F -módulo Ω que admite uma derivação d : F → Ω, tal que Ω é um ℤF -módulo com base (ds)_{s∈S}. Chamamos df de derivação total (livre) de f, para cada f ∈ F. Os coeficientes de df na base ds são chamados de derivadas parciais de f em relação a s, e denotados por ∂f/∂s. Assim,

df = ∑_{s∈S} \frac{∂f}{∂s} ds,

onde ∂f/∂s ∈ ℤF, pois Ω é um ℤF -módulo.

Mostremos então que ∂/∂s : F → ℤF é uma derivação e satisfaz ∂t/∂s = δ_{s,t}, para t ∈ S. Tal propriedade caracteriza completamente ∂/∂s. Como

d(fg) = df + fdg = ∑_{s∈S} \frac{∂f}{∂s} ds + f ∑_{s∈S} \frac{∂g}{∂s}ds = ∑_{s∈S} (\frac{∂f}{∂s} + f \frac{∂g}{∂s}) ds

15. Homologia do toro T via resolução 49

segue que ∂(fg)/∂s = ∂f/∂s + f∂g/∂s, que são os coeficientes na base ds. Obviamente, se t ∈ S então ∂t/∂s = δ_{s,t}. Se 1 ∈ F é o elemento neutro, assumiremos que ∂1/∂s = 0 e com isso temos que ∂f^{−1}/∂s = −f^{−1}∂f/∂s, pois basta usarmos que 1 = ff^{−1} e a hipótese acima.

Em relação à aplicação θ : R_{ab} → ℤG^{(S)}, como em 14.8, θ é induzida pela aplicação R → ℤG^{(S)}, dada por r ↦ ∑_{s∈S} \overline{(∂r/∂s)}e_{s}, onde \overline{(∂r/∂s)} é a imagem de ∂r/∂s pela aplicação canônica ℤF → ℤG, induzida pela aplicação quociente F → F/R.

Estamos agora em condições de utilizarmos todos os conceitos acima para algumas superfícies. Optamos primeiramente em trabalhar com superfícies orientáveis de genus g, como na observação 14.7. A seguir, lidaremos com as duas superfícies não-orientáveis, que são o plano projetivo e a garrafa de Klein. Como já observado, utilizaremos uma resolução para G e a proposição 14.4. Porém, não calcularemos a homologia reduzida e portanto a aumentação ε não será relevante, embora a mantenhamos na resolução.

15 Homologia do toro T via resolução

No caso do toro T, temos que π_{1}(T) = F (S)/R(Δ), onde S = {x, y} e Δ = {r = xyx^{−1}y^{−1}}. Pela proposição 14.8, existe uma seqüência exata

\xymatrix{0 \ar[r] & R_{ab} \ar[r]^{θ} & ℤG^{(S)} \ar[r]^{∂_{1}} & ℤG \ar[r]^{ε} & ℤ \ar[r] & 0}

de G-módulos, onde ℤG^{(S)} é livre com base {e_{x}, e_{y}}. Como R = R(Δ) é abeliano e possui um gerador r temos que R_{ab} = R é livre. No caso em questão, a seqüência torna-se

\xymatrix{0 \ar[r] & G[r] \ar[r]^{θ} & G[e_{x}, e_{y}] \ar[r]^{∂_{1}} & G[v] \ar[r]^{ε} & ℤ \ar[r] & 0}

onde ∂_{1}(e_{x}) = (\overline{x} − 1)v e ∂_{1}(e_{y}) = (\overline{y} − 1)v. Assim, montamos a matriz

M_{1} = [∂_{1}] = [ \overline{x} − 1 \overline{y} − 1 ].

Por fim, para θ temos

θ(r) = ∑_{s∈S} \overline{(∂_{1}r/∂s)}e_{s} = \overline{(∂_{1}r/∂x)}e_{x} + \overline{(∂_{1}r/∂y)}e_{y}.

Como ∂_{1}r/∂x = 1 − xyx^{−1} e ∂_{1}r/∂y = x(1 − yx^{−1}y^{−1}), obtemos a matriz

M_{2} = [θ] = [ \overline{1 − xyx^{−1}} ; \overline{x(1 − yx^{−1}y^{−1})} ] .

Precisamos agora escolher uma representação ρ dentre aquelas definidas em II.9, lembrando que a seqüência passará a ser uma seqüência semi-exata de ℤ-módulos.

15.1 ρ_{1} trivial

Neste caso temos M_{1} = [ 0 0 ] e M_{2} = [ \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} ], isto é, ∂_{1} = θ ≡ 0. Portanto,

• H_{2}(T) = Ker(θ) = ℤ[r] ≈ ℤ.

• H_{1}(T) = \frac{Ker(∂_{1})}{Im(θ)} = ℤ[e_{x}, e_{y}] ≈ ℤ ⊕ ℤ.

• H_{0}(T) = \frac{ℤ[v]}{Im(∂_{1})} ≈ ℤ.

Notemos que esta coincide com a homologia calculada no capítulo II.

15.2 ρ_{x} não-trivial

Para ρ_{x} temos M_{1} = [ −2 0 ] e M_{2} = [ \begin{matrix}0 \\ −2 \end{matrix} ]. Aplicando nos geradores, obtemos

θ(αr) = αθ(r) = α(−2e_{y}) e ∂_{1}(αe_{x} + βe_{y}) = −2αv.

Sendo assim,

Ker(θ) = 0, Im(θ) = ℤ[−2e_{y}], Ker(∂_{1}) = ℤ[e_{y}] e Im(∂_{1}) = ℤ[−2v],

de onde segue que

• H_{2}(T; ℤ_{ρ_{x}}) = Ker(θ) = 0.

• H_{1}(T; ℤ_{ρ_{x}}) = \frac{Ker(∂_{1})}{Im(θ)} = \frac{ℤ[e_{y}]}{ℤ[−2e_{y}]} ≈ ℤ_{2}.

16. Homologia do g-toro gT via resolução 51

• H_{0}(T; ℤ_{ρ_{x}}) = \frac{ℤ[v]}{Im(∂_{1})} = \frac{ℤ[v]}{ℤ[−2v]} ≈ ℤ_{2}.

Analogamente fazemos para ρ_{y} e ρ_{xy} obtendo assim o mesmo resultado para a homologia do toro T, apresentada na tabela 2.2.

16 Homologia do g-toro gT via resolução

Para finalizarmos o trabalho com superfícies orientáveis, faremos o caso geral, onde temos o toro de genus g, gT. Sendo assim, usaremos os conjuntos

S = {a_{1}, b_{1}, …, a_{g}, b_{g}} e Δ = {r = a_{1}b_{1}a_{1}^{−1}b_{1}^{−1} ⋯ a_{g}b_{g}a_{g}^{−1}b_{g}^{−1}},

de modo que π_{1}(gT) = F (S)/R(Δ), como em 14.7.

Usaremos a notação comum [a_{i}, b_{i}] = a_{i}b_{i}a_{i}^{−1}b_{i}^{−1} e faremos alguns cálculos apenas para nos convencer da expressão geral para ∂r/∂a_{i} e ∂r/∂b_{i}. Sendo assim, temos a resolução abaixo

\xymatrix{0 \ar[r] & G[r] \ar[r]^{θ} & G[e_{a_{1}}, e_{b_{1}}, …, e_{a_{g}}, e_{b_{g}}] \ar[r]^{∂_{1}} & G[v] \ar[r]^{ε} & ℤ \ar[r] & 0}

com o operador θ definido por

θ(r) = \overline{(∂r/∂a_{1})}e_{a_{1}} + ⋯ + \overline{(∂r/∂b_{g})}e_{b_{g}}

e o operador ∂_{1} por

∂_{1}(e_{a_{1}}) = (\overline{a_{1}} − 1)v, …, ∂_{1}(e_{b_{g}}) = (\overline{b_{g}} − 1)v.

As derivadas são dadas por

\frac{∂r}{∂a_{1}} = \frac{∂}{∂a_{1}} (a_{1}b_{1}a_{1}^{−1})(b_{1}^{−1} ⋯ a_{g}b_{g}a_{g}^{−1}b_{g}^{−1})
= \frac{∂}{∂a_{1}} (a_{1}b_{1}a_{1}^{−1}) + (a_{1}b_{1}a_{1}^{−1})\frac{∂}{∂a_{1}} (b_{1}^{−1} ⋯ a_{g}b_{g}a_{g}^{−1}b_{g}^{−1})
= \frac{∂}{∂a_{1}} (a_{1}b_{1}a_{1}^{−1}) = 1 + a_{1} \frac{∂}{∂a_{1}} (b_{1}a_{1}^{−1}) = 1 + a_{1}(0 + b_{1} \frac{∂a_{1}^{−1}}{∂a_{1}} )
= 1 + a_{1}(b_{1}(−a_{1}^{−1})) = 1 − a_{1}b_{1}a_{1}^{−1}
\frac{∂r}{∂b_{1}} = \frac{∂}{∂b_{1}} (a_{1}b_{1}a_{1}^{−1}b_{1}^{−1})(a_{2}b_{2}a_{2}^{−1}b_{2}^{−1} ⋯ a_{g}b_{g}a_{g}^{−1}b_{g}^{−1})
= \frac{∂}{∂b_{1}} (a_{1}b_{1}a_{1}^{−1}b_{1}^{−1}) + [a_{1}, b_{1}]\frac{∂}{∂b_{1}} (a_{2}b_{2}a_{2}^{−1}b_{2}^{−1} ⋯ a_{g}b_{g}a_{g}^{−1}b_{g}^{−1})
= \frac{∂}{∂b_{1}} (a_{1}b_{1}a_{1}^{−1}b_{1}^{−1}) = a_{1} \frac{∂}{∂b_{1}} (b_{1}a_{1}^{−1}b_{1}^{−1}) = a_{1}(1 + b_{1} \frac{∂}{∂b_{1}} (a_{1}^{−1}b_{1}^{−1}))
= a_{1}(1 + b_{1}(a_{1}^{−1}(−b_{1}^{−1}))) = a_{1}(1 − b_{1}a_{1}^{−1}b_{1}^{−1})

e de modo geral, observando o que ocorre com as expressões acima, podemos então expressar, para i ≥ 2,

\frac{∂r}{∂a_{i}} = ∏_{k=1}^{i−1}[a_{k}, b_{k}](1 − a_{i}b_{i}a_{i}^{−1}) e \frac{∂r}{∂b_{i}} = ∏_{k=1}^{i−1}[a_{k}, b_{k}]a_{i}(1 − b_{i}a_{i}^{−1}b_{i}^{−1}).

Vamos agora escolher duas representações, apenas para ilustrar o que ocorre nessa situação. Ressaltamos que [a_{k}, b_{k}] tem valor 1, para qualquer representação utilizada, e portanto o valor de ∂r/∂a_{i} e ∂r/∂b_{i} será determinado apenas por (1 − a_{i}b_{i}a_{i}^{−1}) e a_{i}(1 − b_{i}a_{i}^{−1}b_{i}^{−1}) que, em particular para a representação ρ_{a_{i}}, valem 0 e −2, respectivamente.

16.1 ρ_{1} trivial

Aqui, claramente temos M_{2}^{t} = M_{1} ≡ 0 e portanto

• H_{2}(gT) = Ker(θ) = ℤ[r] ≈ ℤ.

• H_{1}(gT) = \frac{Ker(∂_{1})}{Im(θ)} = ℤ[e_{a_{1}}, e_{b_{1}}, …, e_{a_{g}}, e_{b_{g}}] ≈ ℤ ⊕ ⋯ ⊕ ℤ = ℤ^{2g}.

17. Homologia do plano projetivo ℝP^{2} via resolução 53

• H_{0}(gT) = \frac{ℤ[v]}{Im(∂_{1})} ≈ ℤ.

16.2 ρ_{a_{1}} não-trivial

Como observado acima, as matrizes M_{1}, M_{2} possuem apenas uma entrada não-nula, que vale −2, ou seja, temos para essa representação

M_{2} = [ 0 −2 0 ⋯ 0 ]^{t} e M_{1} = [ −2 0 ⋯ 0 ].

Por fim, segue que

Ker(θ) = 0  Im(θ) = ℤ[−2e_{b_{1}}]
Ker(∂_{1}) = ℤ[e_{b_{1}}, e_{a_{2}}, e_{b_{2}}, …, e_{a_{g}}, e_{b_{g}}] Im(∂_{1}) = ℤ[−2v]

nos fornece

• H_{2}(gT; ℤ_{ρ_{a_{1}}}) = Ker(θ) = 0.

• H_{1}(gT; ℤ_{ρ_{a_{1}}}) = \frac{Ker(∂_{1})}{Im(θ)} ≈ ℤ_{2} ⊕ ℤ ⊕ ⋯ ⊕ ℤ = ℤ_{2} ⊕ ℤ^{2(g−1)}.

• H_{0}(gT; ℤ_{ρ_{a_{1}}}) = \frac{ℤ[v]}{Im(∂_{1})} = \frac{ℤ[v]}{ℤ[−2v]} ≈ ℤ_{2}.

Neste caso, existem bem mais representações, mais precisamente, 2^{2g}. Claro que, para cada uma delas, utilizamos o mesmo princípio para o cálculo. Porém, o importante é que os elementos não-nulos nas matrizes serão sempre ±2 e aparecerão nas entradas correspondentes aos elementos de S utilizados na representação.

17 Homologia do plano projetivo ℝP^{2} via resolução

Agora iremos abordar superfícies não-orientáveis e faremos o mesmo tipo de cálculo, porém tomando o cuidado com as relações utilizadas para π_{1}. Comecemos então com o plano projetivo real.

Para essa superfície, precisamos contornar algumas dificuldades, uma vez que a mesma não é do tipo K(G, 1). Porém, mesmo assim podemos representar G = π_{1}(ℝP^{2}) = ℤ_{2} como F (S)/R(Δ), tomando S = {a} e Δ = {a^{2}}.

Como ∂_{1}(e_{a}) = (\overline{a} − 1)v e como a^{2} = 1, segue que Ker(∂_{1}) = G[(\overline{a} + 1)e_{a}]. Construímos então a seqüência

\xymatrix{⋯ \ar[r] & G[e_{a}] \ar[r]^{θ} & G[e_{a}] \ar[r]^{∂_{1}} & G[v] \ar[r]^{ε} & ℤ \ar[r] & 0}

onde M_{2} = [θ] = [\overline{a} + 1] e M_{1} = [∂_{1}] = [\overline{a} − 1], e agora podemos prosseguir como anteriormente.

Existem apenas duas representações, ρ_{a} e ρ_{1}. Como antes, calcularemos os grupos de homologia para cada uma delas, de modo resumido.

17.1 ρ_{1} trivial

As matrizes tornam-se M_{2} = [2] e M_{1} = [0], de modo que

Ker(θ) = 0, Im(θ) = ℤ[2e_{a}], Ker(∂_{1}) = ℤ[e_{a}] e Im(∂_{1}) = 0.

Portanto

H_{2}(ℝP^{2}) = 0, H_{1}(ℝP^{2}) ≈ ℤ_{2} e H_{0}(ℝP^{2}) ≈ ℤ.

17.2 ρ_{a} não-trivial

Por fim, para tal representação, temos M_{2} = [0] e M_{1} = [−2] de onde segue que

Ker(θ) = ℤ[e_{a}], Im(θ) = 0, Ker(∂_{1}) = 0 e Im(∂_{1}) = ℤ[−2v].

Finalizando temos

• H_{2}(ℝP^{2}; ℤ_{ρ_{a}}) = ℤ[e_{a}] ≈ ℤ.

• H_{1}(ℝP^{2}; ℤ_{ρ_{a}}) = 0.

• H_{0}(ℝP^{2}; ℤ_{ρ_{a}}) = \frac{ℤ[v]}{ℤ[−2v]} ≈ ℤ_{2}.

Notemos que os grupos aqui calculados são os mesmos que os feito anteriormente, no capítulo II (ver tabela 2.3).

18. Homologia da garrafa de Klein K via resolução 55

18 Homologia da garrafa de Klein K via resolução

Na seção anterior, tínhamos uma superfície não orientável. No entanto, não era do tipo K(G, 1) e por isso tivemos que tomar algum cuidado. Agora, trabalharemos com a garrafa de Klein K, que é uma superfície não-orientável, fechada, cujo grupo fundamental possui geradores S = {a, b} com a relação r = abab^{−1}.

Sendo assim, podemos usar a resolução

\xymatrix{0 \ar[r] & G[r] \ar[r]^{θ} & G[e_{a}, e_{b}] \ar[r]^{∂_{1}} & G[v] \ar[r]^{ε} & ℤ \ar[r] & 0}

onde M_{2} = [θ] e M_{1} = [∂_{1}] são

M_{2} = [ \overline{∂r/∂a} ; \overline{∂r/∂b} ] e M_{1} = [ \overline{a} − 1 \overline{b} − 1 ] .

Com um simples cálculo, temos

\begin{aligned}∂r/∂a & = & 1 + ab \\ ∂r/∂b & = & a(1 − bab^{−1}) \end{aligned}

e portanto basta escolhermos as representações para finalizarmos o cálculo. Vale ressaltar que as entradas não nulas da matriz M_{2} serão sempre ±2, para qualquer representação utilizada.

18.1 ρ_{1} trivial

Neste caso, M_{2} = [ 2 0 ]^{t} e M_{1} = [ 0 0 ], e portanto

Ker(θ) = 0, Ker(∂_{1}) = ℤ[e_{a}, e_{b}], Im(θ) = ℤ[2e_{a}] e Im(∂_{1}) = 0

nos fornece

• H_{2}(K) = 0.

• H_{1}(K) = \frac{ℤ[e_{a}, e_{b}]}{ℤ[2e_{a}]} ≈ ℤ_{2} ⊕ ℤ.

• H_{0}(K) = ℤ[v] ≈ ℤ.

18.2 ρ_{a} não-trivial

Faremos apenas mais esse cálculo e os outros dois são análogos, com os resultados mostrados na tabela 3.1 abaixo. Temos então as matrizes

M_{2} = [ 0 −2 ]^{t} e M_{1} = [ −2 0 ]

e assim

Ker(θ) = 0, Ker(∂_{1}) = ℤ[e_{b}], Im(θ) = ℤ[−2e_{b}] e Im(∂_{1}) = ℤ[−2v]

dá origem a

• H_{2}(K; ℤ_{ρ_{a}}) = 0.

• H_{1}(K; ℤ_{ρ_{a}}) ≈ ℤ_{2}.

• H_{0}(K; ℤ_{ρ_{a}}) ≈ ℤ_{2}.

Segue a tabela com os resultados obtidos para K, usando o método de cálculo de homologia via resolução, com as quatro possíveis representações.

H_{0}(K) H_{1}(K) H_{2}(K) H_{n}(K), n ≥ 3
ρ_{1} = Id  ℤ  ℤ_{2} ⊕ ℤ  0  0
ρ_{a}  ℤ_{2}  ℤ_{2}  0  0
ρ_{b}  ℤ_{2}  ℤ  ℤ  0
ρ_{ab}  ℤ_{2}  ℤ_{2}  0  0

Tabela 3.1: Homologia da garrafa de Klein K via resolução.

18.1 Observação: Os mesmos resultados são obtidos se utilizarmos a outra relação, descrita em 14.7. Porém, há uma troca entre os resultados obtidos com ρ_{b} e ρ_{ab}. Também, os resultados da tabela acima coincidem com os da tabela 2.4.

19 Co-homologia do g-toro gT via resolução

Faremos aqui um processo análogo ao utilizado no cálculo da homologia. Porém, apenas dualizamos a seqüência, que novamente será formada por

19. Co-homologia do g-toro gT via resolução 57

G-módulos livres. Temos então

\xymatrix{0 & G[r] \ar[l] & G[e_{a_{1}}, e_{b_{1}}, …, e_{a_{g}}, e_{b_{g}}] \ar[l]_{θ^{∗}} & G[v] \ar[l]_{∂_{1}^{∗}} & ℤ \ar[l]_{ε^{∗}} & 0 \ar[l]}

onde

θ^{∗}(x_{1}e_{a_{1}} + y_{1}e_{b_{1}} + ⋯ + x_{g}e_{a_{g}} + y_{g}e_{b_{g}}) = (x_{1}(∂r/∂a_{1}) + ⋯ + y_{g}(∂r/∂b_{g}))r

e

∂_{1}^{∗}(αv) = α((a_{1} − 1)e_{a_{1}} + (b_{1} − 1)e_{b_{1}} + ⋯ + (a_{g} − 1)e_{a_{g}} + (b_{g} − 1)e_{b_{g}}).

19.1 ρ_{1} trivial

Neste caso temos θ^{∗} = ∂_{1}^{∗} ≡ 0 e então

• H^{2}(gT) = ℤ[r] ≈ ℤ.

• H^{1}(gT) = ℤ[e_{a_{1}}, e_{b_{1}}, …, e_{a_{g}}, e_{b_{g}}] ≈ ℤ^{2g}.

• H^{0}(gT) = ℤ[v] ≈ ℤ.

19.2 ρ não-trivial

Vale ressaltar que se ρ é não-trivial então existe uma entrada não nula, valendo ±2, na matriz [θ^{∗}] e assim, se tomarmos um elemento não pertencente ao núcleo desta, teremos sua imagem em ℤ[2r]. Portanto, podemos afirmar que

H^{2}(gT; ℤ_{ρ}) ≈ ℤ_{2}

e como ∂_{1}^{∗} é injetora, neste caso, temos também

H^{0}(gT; ℤ_{ρ}) = 0.

No entanto, para a dimensão 1, fica difícil uma determinação, uma vez que Ker(θ^{∗}) não possui uma caracterização geral, ou seja, depende fortemente da representação utilizada. Mas o importante nesse ponto é sabermos a dimensão 2, que será utilizado no capítulo V.

20 Co-homologia do plano projetivo ℝP^{2} via resolução

Dualizando a resolução obtemos

\xymatrix{0 & G[e_{a}] \ar[l] & G[e_{a}] \ar[l]_{θ^{∗}} & G[v] \ar[l]_{∂_{1}^{∗}} & 0 \ar[l]}

onde M_{2}^{∗} = [θ^{∗}] = [\overline{a} + 1] e M_{1}^{∗} = [∂_{1}^{∗}] = [\overline{a} − 1].

20.1 ρ_{1} trivial

As matrizes tornam-se M_{2}^{∗} = [2] e M_{1}^{∗} = [0] de modo que

H^{2}(ℝP^{2}) ≈ ℤ_{2}, H^{1}(ℝP^{2}) = 0 e H^{0}(ℝP^{2}) ≈ ℤ.

20.2 ρ_{a} não-trivial

Finalizando, temos M_{2}^{∗} = [0] e M_{1}^{∗} = [−2] e então

H^{2}(ℝP^{2}; ℤ_{ρ_{a}}) ≈ ℤ, H^{1}(ℝP^{2}; ℤ_{ρ_{a}}) ≈ ℤ_{2} e H^{0}(ℝP^{2}; ℤ_{ρ_{a}}) = 0.

Resumindo, temos a tabela

H^{0}(ℝP^{2}) H^{1}(ℝP^{2}) H^{2}(ℝP^{2}) H^{n}(ℝP^{2}), n ≥ 3
ρ_{1} = Id  ℤ  0  ℤ_{2}  0
ρ_{a}  0  ℤ_{2}  ℤ  0

Tabela 3.2: Co-homologia do plano projetivo ℝP^{2} via resolução.

21 Co-homologia da garrafa de Klein K via resolução

Como o processo de cálculo é muito semelhante ao que fizemos nas seções anteriores, apenas colocaremos a tabela com os resultados finais, para as quatro representações ρ_{1}, ρ_{a}, ρ_{b} e ρ_{ab}, lembrando que π_{1}(K) é gerado por S = {a, b} com a relação r = abab^{−1}, ou a relação equivalente r = b^{2}c^{2}, onde c = ab^{−1}. Sendo assim, temos a tabela abaixo.

21. Co-homologia da garrafa de Klein K via resolução 59

H^{0}(K) H^{1}(K) H^{2}(K) H^{n}(K), n ≥ 3
ρ_{1} = Id  ℤ  ℤ  ℤ_{2}  0
ρ_{a}  0  ℤ_{2}  ℤ_{2}  0
ρ_{b}  0  ℤ ⊕ ℤ_{2}  ℤ  0
ρ_{ab}  0  ℤ_{2}  ℤ_{2}  0

Tabela 3.3: Co-homologia da garrafa de Klein K via resolução.

Capítulo IV

Teoria de fibrados

Neste capítulo, daremos alguns exemplos para ilustrar o conceito de fibrados. Faremos uma classificação dos fibrados, com grupo estrutural G, sobre um espaço X utilizando as classes de homotopia [X, BG]. As referências para esse capítulo são [6] e [13].

22 Grupos topológicos e ações de grupos

Nos capítulos anteriores, utilizamos a ação de um grupo G sobre um conjunto (ou espaço) X e tínhamos então a noção de G-conjunto (ou G-espaço). Agora, trabalharemos com grupos que possuem também uma topologia e agem sobre si próprios. São os chamados grupos topológicos. Mais precisamente, temos:

22.1 Definição: Um grupo topológico é um conjunto G com uma estrutura de grupo e uma topologia sobre G sob a qual a função (s, t) ↦ st^{−1} é uma aplicação^{1} G × G → G. A condição de continuidade acima é equivalente a afirmar que (s, t) ↦ st é uma aplicação de G × G → G e que s ↦ s^{−1} é uma aplicação G → G.

22.2 Exemplo: O conjunto ℝ com a adição como operação do grupo; o conjunto ℝ − {0} com a multiplicação como operação do grupo; o grupo linear das matrizes não-singulares GL_{n}(ℝ) e GL_{n}(ℂ), entre outros.

22.3 Definição: Dado um grupo topológico G, um G-espaço à direita é um espaço X com uma aplicação X × G → X. A imagem de (x, s) ∈ X × G por esta aplicação é denotada por x · s. Assumimos também os seguintes axiomas:

1Função contínua.

1. Para cada x ∈ X e s, t ∈ G, a relação x · (st) = (x · s) · t vale.

2. Para cada x ∈ X, a relação x · 1 = x vale, onde 1 ∈ G é o elemento neutro.

Analogamente, definimos um G-espaço X à esquerda. Se X é um tal G-espaço à esquerda, x · s = s^{−1} · x define estrutura de G-espaço à direita e desde que existe tal bijeção entre G-espaços à direita e à esquerda, podemos estudar somente G-espaços do primeiro tipo.

22.4 Exemplo: O espaço ℝ^{n} é um GL_{n}(ℝ)-espaço à esquerda, onde a ação é dada pela multiplicação de matrizes. O espaço V_{p}(ℝ^{n}) dos p-frames^{2} ortonormais em ℝ^{n} é um O(r)-espaço à direita, para cada r ≤ p, onde a ação de O(r) é permutar os r primeiros vetores do frame, via uma matriz ortogonal.

22.5 Definição: Uma aplicação h : X → Y entre G-espaços é chamada G-morfismo (ou G-equivariante) se h(x · s) = h(x) · s, para todo x ∈ X e s ∈ G.

Seja M_{G}(X, Y) o subespaço de G-morfismos X → Y. Desde que a composição de G-morfismos é novamente um G-morfismo, a classe de G-espaços e G-morfismos forma uma categoria, denotada por sp_{G}.

Dois elementos x, x′ em um G-espaço X são equivalentes se existe s ∈ G com x · s = x′. Tal relação é de equivalência e o conjunto de todos x · s, s ∈ G, denotado por x·G, é a classe de equivalência determinada por x ∈ X, chamada de órbita de x. Assim X/G é o conjunto das classes de equivalência, com a topologia quociente, e lembramos que π : X → X/G, π(x) = x · G, é contínua.

Em um G-espaço X, são equivalentes

(x · s = x) ⇒ (s = 1) e (x · s = x · t) ⇒ (s = t)

2Conjunto de p vetores linearmente independentes em ℝ^{n}.

23. Fibrado, G-fibrado e fibrado principal 63

e ainda, a translação à direita R_{g} : X → X, definida por R_{g}(x) = x · g, é um homeomorfismo de X com inverso R_{g^{−1}}. Sendo assim, definimos um homomorfismo ϕ : G → Homeo(X) por ϕ(g) = R_{g}, o qual chamamos de translação por g.

22.6 Definição (Ações livre, transitiva, efetiva): Um G-espaço X é chamado livre se ele tem a propriedade (x · s = x) ⇒ (s = 1) e neste caso dizemos que a ação de G em X é livre. Dizemos que a ação é transitiva se, dados x, x′ ∈ X, existir s ∈ G tal que x′ = x · s e dizemos que é efetiva se Ker(ϕ) é trivial, para ϕ definida acima.

Seja X^{∗} o subespaço de todos (x, x · s) ∈ X × X, onde s ∈ G e X é um G-espaço livre. Existe uma função τ : X^{∗} → G tal que x · τ(x, x′) = x′, para todo (x, x′) ∈ X^{∗}. Tal função é chamada função translação.

Seguem, da definição de τ, as seguintes propriedades, para x, x′, x′′ ∈ X:

1. τ(x, x) = 1.

2. τ(x, x′)τ(x′, x′′) = τ(x, x′′).

3. τ(x′, x) = τ(x, x′)^{−1}.

22.7 Proposição: Para um G-espaço X, a aplicação x ↦ x · s é um homeomorfismo e a projeção π : X → X/G é uma aplicação aberta.

Prova: Observemos que a inversa de x ↦ x·s é a aplicação x ↦ x·s^{−1}. Se W é um subconjunto aberto de X, então π^{−1}π(W) = ∪_{s∈G}W · s é aberto, sendo união de abertos W · s. Portanto, π(W) é aberto em X/G, pela definição da topologia quociente.

23 Fibrado, G-fibrado e fibrado principal

23.1 Definição (Fibrado): Um fibrado é uma tripla (E, p, B), onde p : E → B é uma aplicação. O espaço B é chamado de espaço base, o espaço E é o espaço total e a aplicação p é chamada de projeção do fibrado. Para cada b ∈ B, o espaço p^{−1}(b) é chamado de fibra sobre b ∈ B.

Intuitivamente, pensamos um fibrado como uma união de fibras p^{−1}(b), para b ∈ B, parametrizada por B e “coladas” pela topologia do espaço E. Geralmente usamos letras gregas (ξ, η, ζ, λ, …) para denotarmos um fibrado e assim, E(ξ) denota o espaço total e B(ξ) denota o espaço base de ξ.

23.2 Definição (Secção): Uma secção de um fibrado (E, p, B) é uma aplicação s : B → E tal que ps = Id_{B}. Em outras palavras, uma secção é uma aplicação s : B → E tal que s(b) ∈ p^{−1}(b), a fibra sobre b, para cada b ∈ B.

23.3 Definição: Sejam (E, p, B) e (E′, p′, B′) dois fibrados. Um morfismo de fibrados (u, f) : (E, p, B) → (E′, p′, B′) é um par de aplicações u : E → E′ e f : B → B′ tal que p′u = fp. A equação anterior pode ser expressa pela relação u(p^{−1}(b)) ⊂ (p′)^{−1}(f(b)), para cada b ∈ B, isto é, a fibra sobre b ∈ B é levada por u na fibra sobre f(b). No caso em que os dois fibrados têm o mesmo espaço base B, dizemos que u : (E, p, B) → (E′, p′, B), tal que p = p′u, é um B-morfismo.

23.4 Definição: A categoria de fibrados, denotada por Bun (Bundle), tem como objetos todos os fibrados (E, p, B) e como morfismos de (E, p, B) para (E′, p′, B′) o conjunto de todos os morfismos de fibrados, definidos acima. Das propriedades gerais de categoria, um morfismo de fibrados (u, f) : (E, p, B) → (E′, p′, B′) é um isomorfismo se, e somente se, existe um morfismo (u′, f′) : (E′, p′, B′) → (E, p, B) com

f′f = Id_{B}, ff′ = Id_{B′}, u′u = Id_{E} e uu′ = Id_{E′}.

Temos então a noção de fibrados isomorfos.

23.5 Definição (Fibrado induzido): Sejam ξ = (E, p, B) um fibrado e f : B_{1} → B uma aplicação. O fibrado induzido por f, denotado por f^{∗}(ξ), tem B_{1} como espaço base, E_{1} como espaço total, onde E_{1} é o conjunto dos pares (b_{1}, x) ∈ B_{1} × E com f(b_{1}) = p(x), e a projeção p_{1} é definida por (b_{1}, x) ↦ b_{1}.

23.6 Proposição: Sejam g : B_{2} → B_{1} e f : B_{1} → B duas aplicações e seja ξ um fibrado sobre B. Então Id^{∗}(ξ) e ξ são B-isomorfos e g^{∗}(f^{∗}(ξ)) e (fg)^{∗}(ξ) são B_{2}-isomorfos.

Prova: Definimos u : ξ → Id^{∗}(ξ) por u(x) = (p(x), x) e assim u é um isomorfismo. Por fim, seja v : (fg)^{∗}(ξ) → g^{∗}(f^{∗}(ξ)) definida por v(b_{2}, x) = (b_{2}, (g(b_{2}), x)) e então v é um isomorfismo.

23.7 Definição: Dois fibrados ξ e η sobre B são localmente isomorfos se, para cada b ∈ B, existe uma vizinhança aberta U de b tal que ξ_{|U} e η_{|U} são U-isomorfos. Claramente dois fibrados isomorfos são localmente isomorfos.

23.8 Proposição: A relação de serem localmente isomorfos é uma relação de equivalência na classe de todos fibrados sobre B.

Prova: A transitividade da relação é a parte não trivial. Sejam U e V duas vizinhanças abertas de b ∈ B tais que ξ_{|U} e η_{|U} são U-isomorfos e tais que η_{|V} e ζ_{|V} são V -isomorfos. Pela proposição 23.6, os fibrados ξ_{|U∩V} , η_{|U∩V} e ζ_{|U∩V} são U ∩ V -isomorfos.

Pelos argumentos da seção anterior, segue que todo G-espaço X determina um fibrado α(X) = (X, π, X/G). Se h : X → Y é um morfismo entre Gespaços, temos h(x · G) ⊂ h(x) · G, para cada x ∈ X. A aplicação quociente de h é a aplicação f : X/G → Y/G, onde f(x · G) = h(x) · G. Denotemos o morfismo de fibrados (h, f) : α(X) → α(Y) por α(h).

23.9 Proposição: A coleção de funções α : sp_{G} → Bun é um funtor, onde sp_{G} foi definido acima e Bun é a categoria dos fibrados.

Prova: Claramente, temos α(Id_{X}) = (Id_{X}, Id_{X/G}) e se h : X → Y e k : Y → Z são dois G-morfismos então α(kh) = α(k)α(h).

Colocaremos agora definições, exemplos e resultados sobre G-fibrados e fibrados principais, que serão nossos objetos de estudo de agora em diante.

23.10 Definição (G-fibrado): Um fibrado (E, p, B) é chamado G-fibrado se (E, p, B) e α(E) são isomorfos, para alguma estrutura de G-espaço sobre E, via um isomorfismo (1, f) : α(E) → (E, p, B), onde f : E/G → B é um homeomorfismo.

23.11 Definição (Fibrado principal): Um G-espaço E é chamado principal se E é um G-espaço livre com uma função translação contínua τ : E^{∗} → G. Um G-fibrado principal é um G-fibrado (E, p, B), onde E é um G-espaço principal.

23.12 Exemplo: Sejam G = {±1}, o grupo com dois elementos, e S^{n} o G-espaço com a ação dada pela relação x · (±1) = ±x. Então (S^{n})^{∗} é o subespaço dos (x, ±x) ∈ S^{n} × S^{n} e a translação é τ(x, ±x) = ±1, que é claramente contínua. Este ℤ_{2}-espaço principal define um ℤ_{2}-fibrado principal com espaço base ℝP^{n}.

23.13 Proposição: Seja ξ = (E, p, B) um G-fibrado principal. Então ξ é um fibrado com fibra G.

Prova: Para cada x ∈ p^{−1}(b), definimos uma aplicação bijetora u : G → p^{−1}(b) por u(s) = x · s. A função inversa de u é definida por x′ ↦ τ(x, x′), que é contínua, e assim u é um homeomorfismo.

24 Fibrado com fibra F

Sejam ξ = (E, p, B) um G-fibrado principal e F um G-espaço à esquerda. A relação (x, y) · s = (x · s, s^{−1} · y) define uma estrutura de G-espaço à direita em E × F. Seja E_{F} o espaço quociente (E × F)/G e seja p_{F} : E_{F} → B a fatoração da composição

\xymatrix{E × F \ar[r]^{p_{1}} & E \ar[r]^{p} & B}

pela projeção E × F → E_{F}. Explicitamente, temos

p_{F} ((x, y) · G) = p(x)

para todo (x, y) ∈ E × F.

24. Fibrado com fibra F 67

24.1 Definição (Fibrado com fibra F): Com a notação acima, o fibrado (E_{F} , p_{F} , B), denotado por ξ[F], é chamado fibrado sobre B com fibra F (F visto como um G-espaço) e fibrado principal associado ξ. O grupo G é chamado grupo estrutural do fibrado ξ[F].

Também podemos representar por (E ×_{G} F, p_{F} , B, G, F). No caso onde a fibra F é tomada como sendo ℝ^{n} ou ℂ^{n}, temos então um fibrado vetorial real ou complexo. Quando n = 1, chamamos de fibrado linha.

Grosseiramente falando, um G-fibrado principal ξ = (E, p, B) consiste de uma cópia de G para cada ponto b ∈ B, todos “colados” pela topologia de E. O fibrado associado ξ[F] consiste de uma cópia de F para cada ponto b ∈ B, todos “colados” de uma maneira descrita pela topologia do espaço total E, da ação de G em E e da ação de G em F. Tal colagem é feita usando o espaço quociente (E × F)/G.

24.2 Exemplo: Seja ξ o ℤ_{2}-fibrado principal S^{1} → ℝP^{1} = S^{1} e seja F = [−1, 1] o ℤ_{2}-espaço com ação (±1) · t = ±t. Então ξ[F] é o fibrado possuindo a faixa de Möbius como espaço total.

24.3 Proposição: Seja ξ[F] = (E_{F} , p_{F} , B) o fibrado com G-fibrado principal associado ξ = (E, p, B) e fibra F. Para cada b ∈ B, a fibra F é homeomorfa a p_{F}^{−1}(b).

Prova: Seja p(x_{0}) = b, para algum x_{0} ∈ E, e seja f(y) = (x_{0}, y) · G uma aplicação f : F → E_{F}. Desde que p_{F} ((x_{0}, y) · G) = p(x_{0}) = b, podemos restringir o contra-domínio de f de E_{F} para p_{F}^{−1}(b), ou seja, f : F → p_{F}^{−1}(b). Provemos que f tem uma inversa contínua considerando a aplicação g_{1} : p^{−1}(b) × F → F dada por g_{1}(x, y) = τ(x_{0}, x) · y, onde τ : E^{∗} → G é a função translação do G-espaço principal E. Temos então g_{1}(x · s, s^{−1} · y) = g_{1}(x, y) e fatorando através da restrição da aplicação quociente E × F → E_{F}, temos uma aplicação g : p_{F}^{−1}(b) → F. Assim, f e g são inversas uma da outra.

Seja (u, f) : (E, p, B) → (E′, p′, B′) um morfismo de fibrados principais e seja F um G-espaço à esquerda. O morfismo (u, f) define um G-morfismo u × 1_{F} : E × F → E′ × F e tomando o quociente temos um aplicação u_{F} :

E_{F} → E′_{F} tal que (u_{F} , f) : ξ[F] → ξ′[F], onde ξ = (E, p, B) e ξ′ = (E′, p′, B′).

24.4 Definição: Um morfismo entre os fibrados ξ[F] e ξ′[F] é um morfismo de fibrados da forma (u_{F} , f) : ξ[F] → ξ′[F], onde (u, f) : ξ → ξ′ é um morfismo de fibrados principais. Se B = B′ e f = Id_{B}, então u_{F} é um morfismo de fibrados sobre B.

Tal morfismo (u_{F} , f) : ξ[F] → ξ′[F] é um isomorfismo de fibrados se, e somente se, (u, f) : ξ → ξ′ é um isomorfismo de fibrados principais.

24.5 Observação: Vale ressaltar que as funções ξ ↦ ξ[F] e (u, f) ↦ (u_{F} , f) definem um funtor da categoria dos G-fibrados principais para a categoria do fibrados com fibra F e grupo estrutural G. Mais ainda, se ξ′ é um fibrado com fibra F e grupo estrutural G, existe um G-fibrado principal ξ tal que ξ′ = ξ[F]. Portanto existe uma bijeção entre as classes dos G-fibrados principais e as classes dos fibrados com fibra F e grupo G, onde G age sobre F efetivamente. Para maiores detalhes, ver [10], 2.2.10.

A definição dada acima, para um G-fibrado principal, é global. O espaço total possui uma ação expressa por uma função definida globalmente e as translações também são definidas em todo o espaço. Porém, existe uma definição equivalente de um G-fibrado principal, por um outro ponto de vista, baseada na introdução de um conjunto de funções locais. Esta é uma definição muito útil em várias situações, tanto abstrata quanto aplicada, e em particular quando uma expressão explícita para tais funções locais está disponível. Eis a definição.

24.6 Definição: Um fibrado com fibra F é uma 5-upla (E, p, B, F, G) satisfazendo:

i. E, B, F são espaços topológicos, p : E → B é uma aplicação e G é um grupo topológico agindo efetivamente à esquerda em F, isto é, G ⊂ Homeo(F).

ii. B é coberto por uma coleção de conjuntos abertos U = {U_{i}}_{i∈J} e, para todo i ∈ J, existe um homeomorfismo ϕ_{i} : U_{i} × F → p^{−1}(U_{i}) tal que pϕ_{i}(b, s) = b. O aberto U_{i} é chamado de vizinhança coordenada e a função ϕ_{i} é chamada de função coordenada.

iii. Se a aplicação ϕ_{jb} : F → p^{−1}(b) é definida por

ϕ_{jb}(s) = ϕ_{j}(b, s)

então, para cada par i, j ∈ J e b ∈ U_{ij} = U_{i} ∩ U_{j}, o homeomorfismo

ϕ_{jb}^{−1}ϕ_{ib} : F → F

coincide com a operação de um elemento de G (único, desde que a ação é efetiva).

iv. Para cada par i, j ∈ J, a aplicação g_{ji} : U_{ij} → G definida por

g_{ji}(b) = ϕ_{jb}^{−1}ϕ_{ib}

é contínua e a chamamos de função transição.

Tais funções são importantes quando trabalhamos com fibrados. Elas satisfazem as seguintes relações, de fácil verificação:

FT1. g_{ii}(b) = e, para todo b ∈ U_{i}.
FT2. g_{ji}(b) = (g_{ij}(b))^{−1}, para todo b ∈ U_{ij}.
FT3. g_{ki}(b) = g_{kj}(b)g_{ji}(b), para todo b ∈ U_{ijk}.

Sua importância também aparece na seguinte proposição:

24.7 Proposição: Seja G um grupo topológico que age efetivamente à esquerda sobre F. Seja B um espaço topológico com uma cobertura aberta {U_{i}}_{i∈J} tal que, para todo par i, j ∈ J no qual U_{ij} ≠ ∅, existem funções g_{ji} : U_{ij} → G satisfazendo (FT1), (FT2) e (FT3). Nas condições acima, existe um fibrado ξ = (E, p, B, F, G), com funções transição g_{ji} e fibra F.

Prova: Ver [6], 5.3.2.

Em particular, o resultado anterior nos permite construir um G-fibrado com fibra G, a partir de um G-fibrado ξ; basta observarmos que G age sobre si mesmo por multiplicação. Tal G-fibrado com fibra G é o G-fibrado principal associado a ξ. Pode-se mostrar que as duas definições coincidem, embora não faremos isso aqui.

Os objetos da categoria Princ_{G}(B) são G-fibrados principais sobre o espaço B. Um morfismo f ∈ Princ_{G}(B) é uma aplicação G-equivariante f : E → E′ que comuta com as projeções p e p′.

24.8 Exemplo: O fibrado tangente a S^{n} e o fibrado normal a S^{n}, denotados por τ(S^{n}) = (T S^{n}, p, S^{n}, ℝ^{n}, O_{n}(ℝ)) e ν(S^{n}) = (NS^{n}, q, S^{n}, ℝ, O_{n}(ℝ)), respectivamente, são fibrados vetoriais cujos espaços totais podem ser descritos como subespaços de S^{n} × ℝ^{n+1}, por

\begin{aligned}T S^{n} & = & \{(b, x) ∈ S^{n} × ℝ^{n+1}; ⟨b, x⟩ = 0\}, \\ NS^{n} & = & \{(b, x) ∈ S^{n} × ℝ^{n+1}; x = αb, α ∈ ℝ\}. \end{aligned}

Um elemento (b, x) ∈ T S^{n} é chamado vetor tangente a S^{n} em b e um elemento de NS^{n} é chamado vetor normal a S^{n} em b. As fibras p^{−1}(b) e q^{−1}(b) são espaços vetoriais de dimensões n e 1, respectivamente. Uma secção de τ(S^{n}) é chamado de campo vetorial tangente em S^{n} e uma secção de ν(S^{n}) é chamado de campo vetorial normal em S^{n}.

25 Classificação homotópica de G-fibrados principais

O objetivo desta seção é mostrar como o processo de classificação de fibrados funciona na teoria de homotopia. Não é possível afirmar um resultado completamente geral, exceto se o restringirmos a alguns tipos de fibrados, como por exemplo, fibrados vetoriais. O mais geral é lidarmos com fibrados enumeráveis e isso nos levará ao teorema de classificação, citado mais adiante.

Primeiramente, precisamos do conceito de fibrado enumerável e algumas noções de teoria de homotopia. Por fim, provaremos o teorema de classificação, dando assim ao leitor uma noção de como esse procedimento de classificar objetos funciona.

25. Classificação homotópica de G-fibrados principais 71

25.1 Definição: Uma cobertura aberta {U_{i}}_{i∈J} de um espaço topológico B é enumerável se existe uma partição da unidade (localmente finita) {u_{i}}_{i∈J} tal que \overline{u_{i}^{−1}((0, 1])} ⊂ U_{i}, para cada i ∈ J.

Pode-se provar que um espaço de Hausdorff B é paracompacto se, e somente se, cada cobertura aberta é enumerável.

25.2 Definição: Um G-fibrado principal ξ sobre um espaço B é enumerável se existe uma cobertura enumerável {U_{i}}_{i∈J} de B tal que ξ_{|U_{i}} é trivial, para cada i ∈ J. Observe que cada G-fibrado principal enumerável é localmente trivial e que cada G-fibrado principal localmente trivial sobre um espaço paracompacto é enumerável.

Seguem dois resultados sobre fibrados enumeráveis. Para a demonstração, ver [6], 4.9.3 e 4.9.9.

25.3 Proposição: Sejam f : B′ → B uma aplicação e ξ um fibrado enumerável sobre B. Então f^{∗}(ξ) é enumerável sobre B′.

25.4 Teorema: Seja ξ um G-fibrado principal enumerável sobre B e seja f_{t} : B′ → B uma homotopia. Então os G-fibrados principais f_{0}^{∗}(ξ) e f_{1}^{∗}(ξ) são isomorfos sobre B′.

Para cada espaço B, seja k_{G}(B) o conjunto das classes de isomorfismos de G-fibrados principais enumeráveis sobre B e denotemos por [ξ] uma tal classe. Dada uma classe de homotopia [f] : X → Y, definimos uma função

k_{G}([f]) : k_{G}(Y) → k_{G}(X)

pela relação k_{G}([f])[ξ] = [f^{∗}(ξ)]. O elemento [f^{∗}(ξ)] independe do representante da classe [ξ] e pelo teorema 25.4 também independe do representante da classe [f]. Portanto, k_{G}([f]) : k_{G}(Y) → k_{G}(X) é uma função.

Seja H a categoria dos espaços topológicos com classes de aplicações homotópicas e seja ens a categoria dos conjuntos com funções.

25.5 Teorema: k_{G} : H → ens é um cofuntor.

Prova: Sejam f : X → Y e g : Y → Z duas aplicações e seja ξ um Gfibrado principal enumerável sobre Z. Então os fibrados (gf)^{∗}(ξ) e f^{∗}(g^{∗}(ξ)) são isomorfos sobre X, pela construção usada na proposição 23.6. Portanto temos k_{G}([g][f]) = k_{G}([f])k_{G}([g]). Desde que ξ e Id_{Z}^{∗}(ξ) são isomorfos sobre Z, a função k_{G}([Id_{Z}]) é a identidade em k_{G}(Z).

25.6 Corolário: Se f : X → Y é uma equivalência de homotopia, k_{G}([f]) : k_{G}(Y) → k_{G}(X) é uma bijeção.

Seja ω = (E_{0}, p_{0}, B_{0}) um G-fibrado principal enumerável fixado. Dado um espaço X, por 25.4 podemos definir a função

T_{X} : [X, B_{0}] → k_{G}(X)

por T_{X}([g]) = [g^{∗}(ω)]. Definimos também o funtor ϕ_{ω} : H → ens por

ϕ_{ω}(X, Y, [f]) = ([Y, B_{0}], [X, B_{0}], ϕ_{ω}[f]),

onde ϕ_{ω}[f] : [Y, B_{0}] → [X, B_{0}] é definida por [u] ↦ [uf]. Sendo assim, podemos montar o diagrama abaixo e provar que é comutativo, isto é, T_{X}ϕ_{ω}[f] = k_{G}[f]T_{Y}. Basta observarmos que (uf)^{∗}(ω) = f^{∗}(u^{∗}(ω)) nos dá a igualdade em

\xymatrix{[u] \ar[r]^{ϕ_{ω}[f]} & [uf] \ar[r]^{T_{X}} & [(uf)^{∗}(ω)] \\ [u] \ar[r]^{T_{Y}} & [u^{∗}(ω)] \ar[r]^{k_{G}[f]} & [f^{∗}(u^{∗}(ω))]}

A comutatividade nos diz que T : [−, B_{0}] → k_{G}(−) é um morfismo de cofuntores.

\xymatrix{k_{G}(X) &  &  & k_{G}(Y) \ar[lll]^{k_{G}[f]}_{[f^{∗}(ξ)]⟵[ξ]} \\  & X \ar[r]^{f} \ar[dl]^{ϕ_{ω}} \ar[ul]_{k_{G}} & Y \ar[dr]_{ϕ_{ω}} \ar[ur]^{k_{G}} \\ [X, B_{0}] \ar[uu]^{T_{X}} &  &  & [Y, B_{0}] \ar[uu]_{T_{Y}} \ar[lll]_{ϕ_{ω}[f]}^{[uf]⟵[u]}}

Lembramos que T : [−, B_{0}] → k_{G}(−) é um isomorfismo de cofuntores se, e somente se, cada função T_{X} : [X, B_{0}] → k_{G}(X) é uma bijeção. Assim temos:

25.7 Definição (Fibrado universal): Dizemos que um G-fibrado principal ω = (E_{0}, p_{0}, B_{0}) é universal se é enumerável e se T : [−, B_{0}] → k_{G}(−) é um isomorfismo. Neste caso, B_{0} é chamado espaço classificante de G.

25.8 Proposição: Um G-fibrado principal enumerável ω = (E_{0}, p_{0}, B_{0}) é universal se, e somente se, são válidas:

1. Para cada G-fibrado principal enumerável ξ sobre X existe uma aplicação f : X → B_{0} tal que ξ e f^{∗}(ω) são isomorfos sobre X.

2. Se f, g : X → B_{0} são duas aplicações tais que f^{∗}(ω) e g^{∗}(ω) são isomorfos sobre X então f e g são homotópicas.

Prova: A prova é direta, basta observarmos que (1) diz que T_{X} é sobrejetora e (2) diz que T_{X} é injetora.

A existência de um fibrado universal é garantida por um processo conhecido por construção de Milnor, onde um fibrado ω_{G} é construído e as duas condições de 25.8 são satisfeitas. O espaço total de ω_{G} é denotado por EG e o espaço base por BG. Para maiores detalhes de tal processo, ver [6], 4.11.

Utilizando então o fibrado universal ω_{G}, podemos enunciar e provar o seguinte teorema de classificação dos fibrados:

25.9 Teorema: Existe uma bijeção [X, BG] ≈ k_{G}(X).

Prova: Dada [f] ∈ [X, BG] basta tomarmos [f^{∗}(ω_{G})] e se ξ representa um G-fibrado principal sobre X, por 25.8 temos que existe [f] ∈ [X, BG] associada a ξ.

Vale ressaltar que, pela observação 24.5, temos uma bijeção entre as classes de isomorfismos de G-fibrados principais sobre X, k_{G}(X), e as classes de isomorfismos dos fibrados sobre X com fibra F (que é um G-espaço com uma ação à esquerda efetiva) e grupo estrutural G, k_{F} (X). Portanto, com as devidas hipóteses sobre os fibrados a serem considerados, podemos dizer que

[X, BG] ≈ k_{G}(X) ≈ k_{F} (X).

Capítulo V

Enumeração dos fibrados planos sobre superfícies

Neste último capítulo, utilizaremos os resultados dos capítulos II, III e IV para obtermos relações envolvendo a co-homologia de um certo tipo de superfície S, com coeficientes torcidos, e a classe dos fibrados planos sobre tal superfície. Para isso, precisaremos de algumas considerações e também faremos uso dos conceitos de classe característica (ver [8]) e torre de Postnikov (ver [4]). As referências para esse capítulo são [4], [7] e [9].

26 Considerações iniciais

Inicialmente observamos que, dada uma representação ρ para π_{1}(S), por definição temos então um homomorfismo ρ : π_{1}(S) → Aut(ℤ) ≈ ℤ_{2}, ou seja

ρ ∈ Hom(π_{1}(S), ℤ_{2}) ≈ Hom(H_{1}(S), ℤ_{2}) ≈ H^{1}(S; ℤ_{2}).

No entanto, por [6], 17.3.4, temos uma bijeção entre H^{1}(S; ℤ_{2}) e a classe dos fibrados linha sobre S, Line(S), onde um fibrado linha é um fibrado vetorial real de dimensão um. Portanto, a cada ρ podemos associar um fibrado linha λ, que será trivial e terá a classe de Stiefel-Whitney w_{1} nula caso ρ seja trivial. Outro resultado importante envolvendo classe característica é que uma superfície S é ℤ-orientável se, e somente se, w_{1}(τ(S)) = 0. Podemos portanto trocar a notação ℤ_{ρ} por ℤ_{λ}, caso necessário.

Sendo assim, obtemos o teorema abaixo para superfícies fechadas orientáveis.

26.1 Teorema: Seja S uma superfície fechada orientável. Então

H^{2}(S; ℤ_{λ}) = \{ \begin{matrix}ℤ & se w_{1}(τ(S)) = w_{1}(λ) \\ ℤ_{2} & se w_{1}(τ(S)) ≠ w_{1}(λ) \end{matrix} .

Prova:

1. Sabemos que w_{1}(τ(S^{2})) = 0, pois S^{2} é orientável, e como H^{1}(S^{2}; ℤ_{2}) = 0, o único fibrado linha λ sobre S^{2} é trivial e assim w_{1}(λ) = 0. Portanto w_{1}(τ(S^{2})) = w_{1}(λ) e como H^{2}(S^{2}; ℤ) ≈ ℤ, vale o resultado.

2. Para S = gT, temos w_{1}(τ(gT)) = 0. Também, pelos cálculos anteriores, provamos que H^{2}(gT; ℤ_{λ}) é isomorfo a ℤ ou a ℤ_{2}, dependendo das hipóteses sobre λ. Mais precisamente, pelos cálculos da seção 19 temos H^{2}(gT; ℤ_{λ}) ≈ ℤ apenas para λ trivial (onde w_{1}(λ) = 0). Portanto, para tal λ temos w_{1}(λ) = w_{1}(τ(gT)), de onde segue o resultado.

26.2 Observação: Com os cálculos das seções 20 e 21, pode-se provar o teorema também para ℝP^{2} e K e, em geral, pode-se provar também para uma superfície fechada não-orientável qualquer.

27 Enumeração dos 2-fibrados sobre superfícies fechadas orientáveis

Nosso objetivo agora é enumerar os 2-fibrados vetoriais, também chamados fibrados planos, sobre uma superfície fechada orientável S, como antes. Lembramos que o processo pode ser generalizado para as superfícies fechadas não-orientáveis.

Fixemos ξ como sendo um 2-fibrado qualquer sobre S. Sabemos que o grupo estrutural de tais fibrados pode ser tomado como sendo O(2), o grupo das matrizes ortogonais de ordem dois.

Por isso, devemos então estudar o conjunto [S, BO(2)]. Sendo assim, tomamos a fibração

\xymatrix{ℂP^{∞} \ar[r]^{j} & BO(2) \ar[r]^{p} & ℝP^{∞}}

que dá origem à seqüência exata de conjuntos, com ponto base escolhido,

\xymatrix{[S, ℂP^{∞}]_{∗} \ar[r]^{j_{∗}} & [S, BO(2)]_{∗} \ar[r]^{p_{∗}} & [S, ℝP^{∞}]_{∗} \ar[r] & 0} .

Como p_{∗} é sobrejetora, podemos escrever [S, BO(2)]_{∗} como união da contra-imagem de [u]_{∗} ∈ [S, ℝP^{∞}]_{∗} e para isso precisamos saber a respeito da contra-imagem de p_{∗}. Obtemos tais informações pelo processo descrito em [7], utilizando torre de Postnikov e seqüência espectral.

27.1 Definição (Torre de Postnikov): Uma torre de Postnikov para um espaço Y é constituída de:

i. para cada n ≥ 0, um espaço (Y)_{n} e uma aplicação P_{n} : Y → (Y)_{n}, que induz um isomorfismo nos grupos de homotopia até a dimensão n e com π_{k}((Y)_{n}) = 0 para k > n.

ii. para cada n ≥ 1, uma fibração p_{n} : (Y)_{n} → (Y)_{n−1}, com fibra do tipo K(π_{n}((Y)_{n}), n) e p_{n}P_{n} = P_{n−1}.

27.2 Definição: Para n ≥ 1, definimos G_{n}(Y) como sendo o “sheaf” sobre (Y)_{1}, cujo “stalk” sobre y ∈ (Y)_{1} é π_{n}(p^{−1}(y)) = π_{n}(Y), onde p = p_{2} ⋯ p_{n} : (Y)_{n} → (Y)_{1}. Assim, dada f : X → Y, definimos o “sheaf” π_{n}(Y, f) como sendo a imagem inversa de G_{n}(Y) por P_{1}f, (P_{1}f)^{−1}G_{n}(Y), sobre X.

\xymatrix{ &  & (Y)_{n} \ar[d]^{p_{n}} \\  &  & (Y)_{n−1} \ar[d]^{p_{n−1}} \\  &  & ⋮ \ar[d]^{p_{2}} \\  &  & (Y)_{1} \ar[d]^{p_{1}} \\ X \ar[r]^{f} & Y \ar[uuuur]^{P_{n}} \ar[uuur]_{P_{n−1}} \ar[ur]^{P_{1}} \ar[r]^{P_{0}} & (Y)_{0}}

Figura 5.1: Torre de Postnikov para Y.

O diagrama acima é clássico e ajuda a entender o processo de construção da torre e suas propriedades.

27.3 Observação: A construção acima pode ser descrita de outro modo. Primeiramente, o “sheaf” G_{n}(Y) pode ser pensado como um fibrado com base (Y)_{1}, fibra π_{n}(Y) e grupo Aut(π_{n}(Y)), onde a ação do grupo estrutural é definida por uma representação do grupo fundamental da base, ou seja, ρ : π_{1}((Y)_{1}) → Aut(π_{n}(Y)). Desde que (Y)_{1} = K(π_{1}(Y), 1) por definição, tais representações são, na verdade, as possíveis ações do grupo fundamental π_{1}(Y) nos grupos de homotopia de dimensões maiores π_{n}(Y), via a composição p_{2} ⋯ p_{n}, nos dando assim o “sheaf” da definição 27.2. Por fim, suponhamos que (Y)_{1} = BΓ, para Γ um grupo finito. Então, todos os “sheafs” π_{n}(Y, f), como fibrados sobre X, são classificados por (classes de) aplicações em [X, BΓ] e desde que BΓ = K(Γ, 1), o último conjunto corresponde ao conjunto Hom(π_{1}(X), π_{1}(BΓ)) = Hom(π_{1}(X), Γ).

Sendo assim, dada f_{n} : X → (Y)_{n}, para calcularmos p_{n∗}^{−1}(p_{n∗}([f_{n}]_{∗})), onde

p_{n∗} : [X, (Y)_{n}]_{∗} → [X, (Y)_{n−1}]_{∗},

definimos uma seqüência espectral por

f_{n}E_{2}^{p,q} = E_{2}^{p,q} = \{ \begin{matrix}H^{p}(X; π_{q}(Y, f_{n})) & se 2 ≤ q ≤ n, 1 ≤ p ≤ q + 1 \\ 0 & caso contrário \end{matrix}

com um diferencial de bi-grau (r, r − 1)

f_{n}d_{r} : E_{r}^{p,q} → E_{r}^{p+r,q+r−1}

para r ≥ 2 (definido em [7]) e E_{∞}^{n,n} sendo um grupo com uma correspondência bijetiva com o conjunto das classes de homotopia (com ponto base) de aplicações g_{n} : X → (Y)_{n}, tais que p_{n}f_{n} ∼ p_{n}g_{n}. Mais precisamente,

E_{∞}^{n,n} = p_{n∗}^{−1}([p_{n}f_{n}]_{∗}).

Vamos agora adaptar tal técnica para o nosso caso e para isso tomamos Y = BO(2), X = S e utilizaremos homotopias com ponto base. Para construirmos a torre para BO(2), tomamos (BO(2))_{0} = pt, (BO(2))_{1} = ℝP^{∞}, (BO(2))_{2} = BO(2) e p_{2} = p, onde p é a aplicação da fibração tomada no início da seção. Para Y = BO(2), a seqüência espectral colapsa (ver [7], 4.4.1) e portanto E_{∞}^{n,n} = E_{∞}^{2,2}, ou seja, dada f : S → (BO(2))_{2} = BO(2), existe uma bijeção entre o conjunto p_{∗}^{−1}([pf]_{∗}) e H^{2}(S; π_{2}(BO(2), f)) (observe que utilizamos [pf]_{∗} e que p = p_{2} e f = f_{2}).

Como π_{1}(BO(2)) ≈ ℤ_{2} age não trivialmente em π_{2}(BO(2)) ≈ ℤ, reformulamos o “sheaf” π_{2}(BO(2), f) para levarmos em conta tal ação. Primeiramente, tomamos o ℤ_{2}-fibrado universal sobre ℝP^{∞}, cuja fibra é ℤ_{2} e usamos a ação

ℤ_{2} × ℤ → ℤ, (±1, n) ↦ ±n

para mudarmos a fibra e obtermos um ℤ_{2}-fibrado ℤ^{T} sobre ℝP^{∞}, com fibra ℤ. A seguir, tomamos alguma f : S → BO(2) correspondendo a x = w_{1}(ξ) ∈ H^{1}(S; ℤ_{2}) ([9],3.1), lembrando que ξ é um 2-fibrado qualquer sobre S, e fazemos o “pull back” de ℤ^{T} via pf para obtermos o ℤ_{2}-fibrado ℤ^{T} [x] sobre S. Por fim, observamos que π_{2}(BO(2), f) corresponde ao ℤ_{2}-fibrado ℤ^{T} [x]. Portanto, p_{∗}^{−1}([pf]_{∗}) está em correspondência bijetiva com H^{2}(S; ℤ^{T} [x]).

Note que p_{∗}^{−1}([pf]_{∗}) ∈ [S, BO(2)]_{∗} e assim devemos estudar sua classe correspondente em [S, BO(2)] ≈ [S, BO(2)]_{∗}/π_{1}(BO(2)), onde a ação apenas muda o sinal (ver [4], 6.57).

Particularizaremos o processo para as superfícies S^{2}, T e gT, lembrando que o mesmo pode ser feito também para o plano projetivo ℝP^{2} e a garrafa de Klein K.

27.1 Fibrados planos sobre S^{2}

Precisamos saber quantos elementos possui o conjunto [S^{2}, ℝP^{∞}]_{∗} e para cada um deles tomar a contra-imagem por p_{∗}. Mas tal conjunto é H^{1}(S^{2}; ℤ_{2}), já que ℝP^{∞} = Bℤ_{2}, e possui apenas o elemento neutro pois H^{1}(S^{2}; ℤ_{2}) é trivial. Então

[S^{2}, BO(2)]_{∗} = p_{∗}^{−1}([pf]_{∗}) ≈ H^{2}(S^{2}; ℤ^{T} [1])

que é isomorfo a ℤ pois S^{2} é orientável e os fibrados linha sobre S^{2} são triviais, já que Line(S^{2}) ≈ H^{1}(S^{2}; ℤ_{2}) = 0.

Levando em conta a ação de π_{1}(BO(2)) ≈ ℤ_{2} teremos então [S^{2}, BO(2)] ≈ ℕ. Interpretamos isso dizendo que existem ℕ fibrados orientáveis sobre S^{2} e podemos representá-los por

1 + nβ,

onde n ∈ ℕ e β ∈ H^{2}(S^{2}; ℤ^{T} [1]) é o gerador.

27.2 Fibrados planos sobre T

Neste caso H^{1}(T; ℤ_{2}) ≈ ℤ_{2} ⊕ ℤ_{2} e então temos quatro elementos em [T, ℝP^{∞}]_{∗}, denotados por 1, a_{1}, a_{2}, a_{1} + a_{2}. Calculando as contra-imagens, temos

\begin{matrix}H^{2}(T; ℤ^{T} [1]) ≈ ℤ & H^{2}(T; ℤ^{T} [a_{1}]) ≈ ℤ_{2} \\ H^{2}(T; ℤ^{T} [a_{2}]) ≈ ℤ_{2} & H^{2}(T; ℤ^{T} [a_{1} + a_{2}]) ≈ ℤ_{2} \end{matrix}

e portanto, tomando o quociente pela ação de ℤ_{2}, temos seis fibrados planos não-orientáveis sobre T e ℕ orientáveis, denotados por

1 + nβ 1 + a_{2} + n(mod2)β 1 + a_{1} + n(mod2)β 1 + (a_{1} + a_{2}) + n(mod2)β .

27.3 Fibrados planos sobre gT

Como H^{1}(gT; ℤ_{2}) ≈ ℤ_{2}^{2g}, podemos dizer que é da forma ℤ_{2}[a_{1}, …, a_{2g}]. Também, como H^{2}(gT; ℤ_{λ}) ≈ ℤ apenas para λ trivial, temos então ℕ fibrados planos orientáveis sobre gT e para cada elemento y não nulo de ℤ_{2}[a_{1}, …, a_{2g}], temos dois não-orientáveis, todos representados por

1 + nβ e 1 + y + n(mod2)β.

Para finalizarmos o trabalho, apresentamos as conclusões na tabela abaixo, indicando as superfícies (fechadas e orientáveis) e os fibrados vetoriais planos, orientáveis e não-orientáveis, respectivamente.

S Vect_{2}^{+}(S) Vect_{2}^{−}(S)
S^{2}  ℕ[β]  ∅
T  ℕ[β]  (ℤ_{2}[a_{1}, a_{2}] − {0}) × ℤ_{2}[β]
gT  ℕ[β]  (ℤ_{2}[a_{1}, …, a_{2g}] − {0}) × ℤ_{2}[β]

Tabela 5.1: Enumeração dos fibrados planos sobre S.

Lista de Tabelas e Figuras

Tabelas

2.1 Homologia da S^{1}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Homologia do toro T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3 Homologia do plano projetivo ℝP^{2}. . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4 Homologia da garrafa de Klein K. . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1 Homologia da garrafa de Klein K via resolução. . . . . . . . . 56 3.2 Co-homologia do plano projetivo ℝP^{2} via resolução. . . . . . . 58 3.3 Co-homologia da garrafa de Klein K via resolução. . . . . . . 59

5.1 Enumeração dos fibrados planos sobre S. . . . . . . . . . . . . 80

Figuras

2.1 Decomposição simplicial de S̃^{1}. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Decomposição simplicial do toro T. . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Decomposição simplicial de T̃. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 Decomposição celular da S^{2}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5 Decomposição simplicial da garrafa de Klein K. . . . . . . . . 36 2.6 Decomposição simplicial de K̃. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.1 Torre de Postnikov para Y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

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Índice Remissivo

Símbolos H_{∗}(X; A_{ρ}), 22 H_{ab}, 47 ℤ_{λ}, 75 π-módulo, 20 k_{F} (X), 73 k_{G}(B), 71

A ação, 15

órbita da, 15, 62 efetiva, 15, 63 livre, 44, 63 propriamente descontínua, 15 transitiva, 15, 63

anel de grupos, 19 aplicação, 5

G-equivariante, 62 de cadeias, 18

C categoria

Bun_{F} (X), 64 H, 71 Princ_{G}(B), 70 ens, 71 sp_{G}, 62 classe característica, 75 cobertura

enumerável, 71 folhas da, 6 regular, 14 universal, 9

complexo de cadeias, 17 de cadeias aumentado, 42

comutador, 47

D derivação, 48

total (livre), 48 derivadas parciais, 48 diferencial d_{r}, 78

E equivalência

de homotopia, 18

fraca, 18 estabilizador, 15

F fibra, 10, 63 fibrado(s), 63

G-, 65

com fibra F, 67, 68 enumerável, 71 grupo estrutural do, 67 induzido, 64 isomorfos, 64

localmente, 65 linha, 67, 75 morfismo de, 64, 68 normal a S^{n}, 70 plano, 76

sobre gT, 80 sobre S^{2}, 79 sobre T, 80

principal, 66 tangente a S^{n}, 70 universal, 73 vetorial, 67

função transição, 69 translação τ, 63

G G-complexo, 44

livre, 44 G-conjunto, 43 G-espaço, 61

livre, 63 G-morfismo, 62 garrafa de Klein, 16, 36, 47, 55 grupo

estrutural do fibrado, 67 de isotropia, 15 topológico, 61 H homologia, 17 homologia(s)

com coeficientes locais, 21 da S^{1}, 23, 26 da garrafa de Klein K, 36, 40 de um grupo G, 46 do ℝP^{2}, 34, 35 do toro T, 26, 34, 51 torcida por ρ, 22

I

isotropia, 11, 15, 44

L

localmente conexo, 5

M módulo

de permutação, 43 graduado, 17

N

normalizador, 13

O

operador bordo, 17

P

plano projetivo, 12, 34, 47, 53, 58 produto tensorial, 21

R

recobrimento, 5

aplicação de, 5 representação ρ, 20, 75 resolução

de ℤ sobre ℤG, 43

livre, 41

unicidade da, 43

S secção, 64 seqüência espectral, 77, 78 sheaf, 78

T Teorema

classificação dos fibrados, 73 cobertura de homotopia, 7 levantamento, 8 levantamento de caminhos, 6

toro, 15, 26, 34, 49, 80 torre de Postnikov, 75, 77 transformação deck, 12